Презентация на тему Методы решения планиметрических задач

прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться. 

отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на

которые опущены эти высоты).  

угол), то их площади относятся как произведение сторон, заключающих

этот угол. 

соответствующие этим сторонам высоты.

равновеликих треугольника. SAОВ=SСОВ=SAОС

треугольников.

подобия.

треугольники площади ¼ S .

SABCD
SABM + SCMD= ½ SABCD =8

SABM = SCMD
SAMD=8

= N, Найти: SABN





(свойство №6

(1))
SABN=10

треугольника до его гипотенузы, равной 25 см, если один

из катетов равен 20 см.

Дано: ΔАВС (∠ А=90), ВС=25см, АВ=20см.
О - точка пересечения медиан,
ОК ВС
Найти: ОК.
Решение:
ΔАВС (∠ А=90). По теореме Пифагора АС=15.

2. О - точка пересечения медиан,
SOLC = SABC / 6; (свойство №6 (2))
SOLC = 150/ 6; SOLC = 25
3. С другой стороны SOLC = 1/2LC · OK;
OK = 2 SOLC / LC; OK = 4 см.

Ответ: 4см.

в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Проведём

отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника  APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP.
Обозначим площадь треугольника  ВKP через S . Тогда SΔКРС =2S, т.к. треугольник KPС, имеет ту же высоту и вдвое больше основание.
Значит, SΔСКВ = SΔСКМ = 3S (CK – медиана треугольника СМВ).
SΔСКМ = SΔАКМ = 3S (KМ– медиана треугольника АКС). SΔABК = SΔАКМ = 3S (AK – медиана треугольника AМВ).
Итак, SKPСM = SΔСКМ +SΔКРС=5S. SΔABК =3S
Значит,  SΔABК: SKPСM =3:5=0,6
Ответ: 0,6.

параллельны тогда и только тогда, когда треугольники ABO и

CDO равновелики (О – точка пересечения диагоналей четырехугольника).

Дано: SΔAOB=SΔCOD.
Доказать: AD║BC.
Доказательство.
1. Т. к. SΔAOB=1/2OA·OB·sin∠AOB и SΔCOD=1/2OC·OD·sin∠COD, то
OA·OB·sin∠AOB=OC·OD·sin∠COD.
AO·BO=CO·DO; т.е. AO:OC=DO:OB.
2. ΔAOD ~ ΔCOB ( по 2 признаку подобия:
AO:OC=DO:OB и ∠ АОВ = ∠ВОС как вертикальные).
Значит, ∠BCO=∠OAD.
3. Т.к. ∠BCO=∠OAD и они накрест-лежащие при прямых AD и BC и секущей АС, тоAD║BC.

– SΔBOC.
2. SΔABC = SΔDBC, т. к. они имеют

одно и то же основание ВС, а опущенные на него высоты равны, поскольку AD║BC.
Значит, SΔAOB=SΔCOD.

(О – точка пересечения диагоналей) .
Доказательство.
1. ΔАОВ и

Δ ВОС имеют общую высоту ВМ.
Поэтому : SΔAOB:SΔBOC=AO:OC
2. Аналогично: SΔAOD:SΔCOD=AO:OC.
3. Из этих двух равенств следует, что SΔAOB:SΔBOC=SΔAOD:SΔCOD, или SΔAOB · SΔCOD=SΔAOD·SΔBOC

В случае, если AD║BC
S 2ΔAOB=S 2ΔCOD=SΔAOD·SΔBOCили SΔAOB=SΔCOD=
SABCD=SΔAOB+SΔBOC+SΔCOD+SΔAOD=

, а через её середину и вершину А проведена

прямая AL. В результате такого построения треугольник АВС разбит на три треугольника и один четырехугольник. Найти площади этих фигур, если площадь АВС равна 60.

Решение:
1. Так как BD – медиана, то SΔABD=SΔCBD=0,5SΔABC=30;
2. АО – медиана в треугольнике ABD, поэтому SΔAOB=SΔAOD=0,5SΔABD =15.
3. Продолжим медиану BD за точку D так, что DP=BD. Рассмотрим четырехугольник ABKP. По построению, BD=DP, тогда SΔABD=SΔADP=30.
4. Точка D стала точкой пересечения диагоналей четырехугольника ABCP, в которой они делятся пополам. Тогда ABCP – параллелограмм, т.е. AP║BK.
5. Значит, SΔPOK=SΔAOB=15.
6. В силу утверждения 2 можем заключить, что S 2ΔAOB =SΔAOP·SΔBOK.
Заметим, что SΔAOP=3SΔAOB=3·15=45, 225=45·SΔBOK, откуда SΔBOK=5.
Тогда SOKCD=60–30–5=25

Ответ: SΔAOB=SΔAOD =15; SΔBOK=5; SOKCD=25

точке Е, SABE=SCED. Площадь четырёхугольника ABCD больше площади треугольника

АВЕ не более чем в 4 раза. Найти CD, если АВ =

Решение. 1. Так как SΔABE=SΔCED, тогда по утверждению 1 AD║BC. 2. Пусть SΔAED=S1, SΔBEC=S2. Из утверждения 2 следует, что SΔABE=SΔCED= . 3. Так как Значит, 4. Равенство имеет место только в том случае, когда


5.Значит, в силу утверждения1, заключаем, что AB║CD. Тогда ABCD – параллелограмм и CD=АВ=