Презентация на тему по математике на тему Геометрический смысл производной(11 класс)

в точке х₀

тангенс угла наклона касательной к положительному направлению

оси ОХ

угловой коэффициент касательной

касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой

х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0.

х

х0

у

O

у =f(x)

-3

-7

Еще удобный треугольник…

можно воспользоваться.
х
х0
у


O




у =f(x)
-3
-7
2 способ
Подставим координаты удобных точек в

уравнение прямой.

(-1; -3)

(0; -7)

– 7 = b.

– 3 = – 1k + b.

– 4 = k

k = – 4

(x0; f(x0)).
Составим уравнение касательной к графику функции y=f(x) в

точке
(x0; f(x0)).
Уравнение прямой (касательной) имеет вид: y=kx+b (1), где k – угловой коэффициент прямой (касательной).
По геометрическому смыслу производной: kкас= f ′(x0), где x0 – абсцисса точки касания.

Вывод уравнения касательной

k выражение kкас= f ′(x0).
Получим: y= f ′(x0)∙x+b

(2).
Точка с координатами (x0; f(x0)) принадлежит касательной, значит её координаты удовлетворяют уравнению касательной, то есть уравнению (2).
Следовательно уравнение касательной (2) принимает вид: f(x0) = f ′(x0) ·x0 +b (3).

f(x0) - f ′(x0) ·x0 . Подставим это значение

во (2) уравнение.
Тогда y= f ′(x0)·x+ f(x0) - f ′(x0) ·x0 .
После преобразования уравнение принимает вид: y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0).
Это и есть уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке
(x0; f(x0)).

Вывод уравнения касательной

коэффициент касательной (значение производной в точке x0, тангенс угла

наклона касательной к оси абсцисс

ордината точки касания (значение функции y=f(x) в точке x0)

абсцисса точки касания

функции

в точке с абсциссой в общем виде.
Найдите производную функции
Вычислите значение производной

4. Вычислите значение функции в точке

5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной

точке x0 .
f(x0)= f(e)=ln2e=1
f ′(x)= 2lnx·x-1
f ′(x0)= f ′(e)=

2lne·e-1 = =2e-1
Подставим в уравнение касательной:
y= 2e-1·(x- e)+ 1
y= 2e-1·x -1

y=ln2x, x0=e.

y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)

точке графика с ординатой y0 .
Подставим в уравнение касательной:

y= -1 ·(x - 1)+ 1
y= - x+2

y0=1.

y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)

с осью Ox угол α.
Подставим в уравнение касательной и

получим:
у= x - 3, y = x+1

y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)

прямой y=kx+b.
f ′(x)=2e2x-1
kкас=2= f ′(x0)
2e2x-1 =2,
то есть

x0=0,5
Подставим в уравнение касательной и получим:
y= 2x

у = e2x-1, y=2x+7

y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)