Презентация на тему по алгебре Исследование квадратнго трехчлена

рациональных неравенств §3.Решение дробно-рациональных неравенств §4.Неравенства, содержащие знак модуля. §5.Иррациональные неравенства. §6.Уравнения и

неравенства с параметрами. 6.1.Графический метод решения задач с параметрами. §7.Решение неравенств методом интервала §8.Решение неравенств с помощью параболы Решение квадратных уравнений графическим способом Виды квадратичной функции §1.Функция y=ax2 §2. Квадратичная функция Преобразование графиков функции y=a(x-m)2+n §1. Растяжение §2. Параллельный перенос по оси Ox §3. Параллельный перенос по оси Oy Сечение конуса Построение параболы по трем точкам Заключение Приложения Список использованной литературы

Содержание: Цель
Задачи
Проблемы исследования
Квадратное уравнение §1.Определение §2.Решение неполных квадратных уравнений §3.Формулы корней квадратного уравнения §4.Алгоритм решения квадратных уравнений §5.Алгорит устного решения квадратных уравнений Теорема Виета §1. Следствия из теоремы Виета Неравенства §1.свойтсва неравенств

анализ.
2. Научиться применять его на практике.
3. Разработать свое методическое

пособие.

способов решения квадратного трехчлена.
3. Изучить историю развития квадратного трехчлена.

трехчлена.
Объект исследования.
Организация

применения различных способов решения квадратного
трехчлена при изучении математики в школе.
Предмет исследования квадратный трехчлен.

коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём

а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

определение

два корня, один корень и ни одного корня.

-b²-4ас/4а=0.
Обычно выражение b²-4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом

квадратного уравнения ах²+bх+с=0

формуле:
D=b²-4ас
Сделать вывод о знаке D и о количестве корней.
Если

D<0, то корней нет.
Если D=0, то один корень х=-b/2а
Если D>0 то, два корня х1=-b-√D/2а х2=-b+√D/2а
Записать ответ.

вид

x2 + рх + q = 0
 
его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

х1 · х2 = q,
х1 + х2 = - p
 
Отсюда можно сделать следующий вывод:
 
Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньше корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении
  Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули, вычитаются затем: для нахождения корней приведенного уравнения необходимо выполнить следующие действия:
 найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу р;
поставить пред меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно

свободному члену.
Доказательство:
Если х1 и х2 – корни, то их можно вычислять по формуле: х1,2=-р±√D/2
х1=-р-√D/2
+
х2=-р+√D/2
____________
-р+√D/2+-р-√D/2=-р+√D+-р-√D/2=-2р/2=-р
х1·х2=-р+√D/2·-р-√D/2=(-р+√D)(-р-√D)/4=р²-D/4=р²-(р²-4q)/4= р²- р²+4q/4=
=4q/4=q.

х1+х2=-p, x1·x2=q, то эти числа корни приведенного уравнения х²+рх+q=0.
Доказательство:
По

условию х1+х2=-p, x1·x2=q, тогда можно составить квадратное уравнение х²+рх+q=0.
х²+рх+q=х²-(х1=х2)·х+х1·х2=х²-х1·х-х2·х+х1·х2=х(х-х1)-х2(х-х1)=(х-х1)(х-х2)
(х-х1)(х-х2)=0 <=> х-х1=0 х=х1
х-х2=0 х=х2

квадратного трехчлена имели одинаковые знаки необходимо и достаточно выполнение

условий: чтобы D ≥ 0; чтобы х1·х2>0
Причем: 1) оба корня положительные если дополнительно выполняется равенство х1+х2>0
<=> b²-4ас≥0
с/а>0
-b/а>0
2) оба корня отрицательные если дополнительно выполняется равенство х1+х2<0
<=> b²-4ас≥0
с/а>0
-b/а<0
Следствие 2:
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки необходимо выполнения условий: чтобы D>0; чтобы х1·х2<0
<=> b²-4ас>0
с/а<0.

  определены на некотором множестве . Поставим задачу:

найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: > ( < ).
Множество  называется множеством решений данного неравенства.
Решить неравенство – значит найти множество всех  , для которых данное неравенство выполняется.

 и
 
 
 
 
пусть
, тогда

 
 

квадратный трехчлен:
Пусть  - дискриминант квадратного трехчлена.

 заданы целыми рациональными выражениями, то его называют целым рациональным

неравенством.
Если неравенство  привести к равносильному  и разложить левую часть на линейные множители, то такое неравенство можно решить методом интервалов.
Суть этого метода в следующем:
        Перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю;
        Найденные корни уравнения нанести на числовую ость. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;
        Выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение («пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;
        Выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак и записать ответ, взяв их объединения.

равносильному неравенству , тогда метод интервалов применим и для

решения дробно-рациональных неравенств.

содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен

при решении уравнений с модулем.
Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.
Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.
 

которых неизвестная содержится под знаком радикала. Простейшие из них

имеют вид:
 или .
         При рассмотрении этих неравенств будут применяться следующие утверждения:
1.     Неравенство вида  (при натуральном ) равносильно системе неравенств:
2.     Неравенство вида  равносильно совокупности двух систем неравенств:
 и

неравенствах некоторые коэффициенты или свободные члены заданы не конкретными

числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые значения.
Решить уравнение с параметрами означает следующее:
            а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при различных значениях параметров;
         б) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

всех вариантов) и на свойстве непрерывной функции сохранять знак

между значениями, в которых она обращается в 0 (интервалы знакопостоянства)
Решение неравенств.
Рассмотрим график многочлена.. Это непрерывная функция. Значение 0 она приобретает 3 раза, f(x) = 0 в точках x1, x2, x3, корнях многочлена.
В промежутках между ними она сохраняет знак.
 
 
Поскольку для решение неравенства f(x)>0 нас интересует только знак функции, перейдем от графика к координатной прямой.
 
f(x)>0 при x (x1; x2) и при x (x3; )
f(x)<0 при x ( - ; x1) и при х (x2; x3)
Синим и красным цветом выделены решения неравенств f(x)<0,  а красным – f(x)>0
Для определения знака функции на интервале достаточно знать знак функции в одной из точек интервала знакопостоянства.
Этим методом удобно решать неравенства, левая часть которых разложена на множители, поскольку в них не представляет труда найти корни.

трехчлена) у = ах2 + bх + с является

парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.
Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях
точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).

уравнение можно решать и графическим способом. Решим графически уравнение

ах2 + bx +с = 0. Оно равносильно уравнению ах2 = - (bx + c). Постоим графики функций y = ax2 и y = - bx - c в одной системе координат (рис. 1). В точках х1 и х2 значения обеих функций равна. Следовательно, х1 и х2 являются корнями уравнения ах2 = - (bx + c) и равносильного ему уравнения ах2 + bx +с = 0
Если парабола и прямая касаются. То квадратное уравнение имеет два равных корня.
Если же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение не имеет корней.
Уравнение ах2 + bx +с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах2 + bx +с и найдя точки ее пересечения с осью Ох, если D≥0 (рис. 2)2
 

чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции

и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.
 
График функции y = ax2 называется параболой.

то у = 0, т.е. парабола имеет с осями

координат общую точку (0;0) - начало координат.
2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством  значений  функции у = aх2 является промежуток [0; + ∞).
4. Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = aх2 - четная).
5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = aх2 возрастает.
6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = aх2 убывает.
7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

формулой вида y = ax2 + bx + c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.
Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

x2 вдоль оси у в |а| раз (при |а|

 < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).
Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х
Результат: график функции у = ах2.
 
 
 
 

графика функ­ции у = ах2 вдоль оси х на

|m|  (вправо при
m > 0 и влево при т < 0).
Результат: график функции у = а(х - т)2.
 

функ­ции  вдоль оси у на |n| (вверх при

п > 0 и вниз при п < 0).
Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.
 
 

является точкой

экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и


Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и

является четной, а в общем случае уже не является

ни четной, ни нечетной.

научно – методической литературы по теме выполненной работы показали,

что использование различных способов решения квадратных уравнений является важным звеном изучении математики, повышает интерес, развивает внимание и сообразительность.
Система использования различных способов решений уравнений на разных этапах урока является эффективным средством активизации учащихся, положительно влияет на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развивает умственную деятельность.
Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения
Работа над докладом способствует дальнейшему изучению решений уравнений.