Презентация на тему Древнейшие задачи на прогрессии (9-11кл)

тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии,

мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.
Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.
Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

«История возникновения прогрессии»

до н. э) встречаются примеры арифметических прогрессий.
Некоторые формулы,

относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта (v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в
1202г.(Леонардо Пизанский)

арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650

до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке

года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны

с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.
Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление

наследства и др.
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных  вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

XIII в. :

7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7

кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”

в деревнях загадывали:
“Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.
На каждом костыле по 7 сучков.
На каждом сучке по 7 кошелей.
В каждом кошеле по 7 пирогов.
В каждом кошеле по 7 воробьев.
Сколько всего?

каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает

по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение: Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

до н. э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели

10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии

любую награду за интересную игру, к которой он долгой

время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат

ученого.
Нетрудно сосчитать, используя формулу

что количество зерна, нужное для расплаты,

составляет:
18 446 744 073 709 551 615
Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.

о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность,

а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая :
Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй
получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность y. Тогда доля первого х , доля второго х + у ; доля третьего х + 2y
доля четвертого х + 3y; доля пятого х + 4y.
На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:


После упрощений первое уравнение получает вид x + 2y = 20,
а второе: 11х = 2y.
Решив эту систему, получаем: x = 1 2/3, y = 9 1/6.
Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части
1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

задачи на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились

сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся поэтому с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой.

5; 8; 11; 14.









Чтобы определить сумму ее членов, дополним

чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т. е.(АС + СЕ) × АВ. Но АС + СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма2 S = (сумма крайних членов) × (число членов) или S = ((первый + последний член) × (число членов))/2.

м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит

ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

+ 16 + 2,5 + 16 + 2,5 +

14 = 65 м.
При поливке второй он проходит
14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 65 + 5 = 70 м.
Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию:
65; 70; 75; ... ; 65 + 5 × 29.
Сумма ее членов равна
((65 + 65 + 29 × 5)30)/2 = 4125 м
Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу.

При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.
Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по

1 декалитру на курицу в неделю, то х = 31y. В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т.д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было: (31 - 2y + 1) дл*. *Поясним: расход корма в течение
1-й недели 31 дл, 2-й недели 31 - 1 дл, 3-й недели 31 - 2 дл, .... 2y-й недели 31 - (2y - 1) = 31 - 2y + 1 дл. Весь запас составлял, следовательно, x = 31y = 31 - 30 + 29 + ... + (31 - 2у + 1). Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31 - 2у + 1, равна 31y = ((31 + 31 - 2y + 1)2y)/2 = (63 - 2y)y. Так как y не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем: 31 = 63 - 2y и y = 16, откуда
х = 31y = 496. Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада

работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени - третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

первый работал Их часов. Далее, если число рывших канаву

учеников было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой Иле, а последний х, т. е. ((11х + х)у)/2 = 6xy.
С другой стороны, известно, что бригаду из y человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24y рабочих часов. Следовательно, 6хy = 24y.
Число y не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем: 6x = 24 и х = 4.
Итак, член бригады, приступивший к работе последним, работал 4 часа.
Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали
знать, сколько рабочих входило в бригаду, то не могли бы этого
определить, несмотря на то, что в уравнении число это
фигурировало (под буквой y). Для решения этого вопроса в задаче
не приведено достаточных данных.

и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и

еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

получил
x/2 + 1/2 = (x + 1)/2, второй 1/2(x

- (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/22, третий 1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/23, седьмой покупатель (х + 1)/27. Имеем уравнение
(х + 1)/2 + (х + 1)/22 + (х + 1)/23 + ... + (х + 1)/27 = x или
(x + 1)(1/2 + 1/22 + 1/23 + ... + 1/27) = x. Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x + 1) = 1 - 1/27 и
х = 27 - 1 = 127. Всех яблок было 127.

руб. Но покупатель,

приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй -1/2 коп., за третий - 1 коп. и т. д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром
получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая,
что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.
На сколько покупатель проторговался?

+ 1 + 2 + 22 + 23 +

... + 224-3
копеек. Сумма эта равна
(221 × 2 - 1/4)/(2 - 1) = 222 - 1/4 = 4194303 3/4 коп.
т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу

математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом

Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795):
"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его
ран".

+ 23 + ... + 2x-1 или
65535 = (2x-1 ×

2 - 1)/(2 - 1) = 2x-1,
откуда имеем: 65536 = 2x и x = 16 - результат, который легко находим путем испытаний.
При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.