Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Очень много задачек по теории вероятностей.

Содержание

Задача 11.Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?
Задача 11.Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали? Решение.Пусть событие А – при проверке деталь оказалась стандартной. По определению относительная Задача 12.Естествоиспытатель К.Пирсон подбрасывал монету и записывал полученный результат. Проделав эту операцию Решение.Относительная частота выпадения гербаW(A) = 12012 = 0,5005 ≈ 1 Задача 13.Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных книг в партии из случайно Ответ: 0,05. Задача 14.По цели произведено 20 выстрелов,причем зарегистрировано 18 попаданий.Найти относительную частоту попаданий в цель. Ответ:0,9. Задача 15.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов 0,9.Найти число годных Ответ: 180. Задача 16.На отрезок ОА длины ℓ числовой оси Ох наудачу поставлена точка Решение.Разобьем отрезок ОА точками М и К на три равные части.Требование задачи Задача 17.Если абонент ждет телефонного вызова с 2 до 3 часов, то Решение.Пусть событие D – вызов произошел в течение 10мин после половины третьего.Изобразим Задача 18.На листок бумаги в клетку со стороной 10мм падает кружок диаметра Решение.На рисунке заштрихована область, попадание центра кружка в которую дает возможность утверждать, Задача 19.В круг, радиус которого равен R, вписан правильный треугольник.Какова вероятность того, Пусть событие D состоит АСDА1В1С1D1Задача 20.Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4,6,10см, наудачу выбирается точка М. Решение.Пусть событие N – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3см.Будем Задача 21.Два друга Х и У условились встретиться в определенном месте между Пусть момент прихода друзей Х и У соответственно x и y.Для того, Задача 22.Минное заграждение поставлено в одну линию с интервалами между минами в Ответ: 0,2. Задача 23.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что Ответ: 2 . π Задача 24.В урне 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску и Решение.1 способПусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара; В – Задача 25.Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш Решение.Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что на купленный билет падает Задача 26.В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 Решение.Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна 60 Задача 27.В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные, остальные Решение.Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука будут Задача 28.Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично, равна 0,2; на Задача 29.У продавца имеется 10 оранжевых,8 синих, 5 зеленых и 15 желтых Ответ: 23 . 38 Задача 30.В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и Ответ: 1 . Задача 31.В ящике 10 лампочек по15 Вт, 10 – по 25 Вт, Задача 32.В первой урне находятся6 черных и 4 белых шара, во второй Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар;А2 – из второй Задача 33.Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.Вероятность выхода из строя первого Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е – Задача 34.В экзаменационные билеты включенопо 2 теоретических вопроса и по 1 задаче. Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий:Студент одновременно ответит на Задача 35.В Санкт-Петербург – 16 мест на практику, в Киев – 10, Событие Е – определенные три студента попадут в один город.Это событие может Задача 36.Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика «четверка» выпадет: Задача 37.Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза. Задача 38.За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1.Найти вероятность того, Задача 39.В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи»:а) Бросают пару различных а) 0,75 , 0,25б) 1 , 2 3 3в) Задача 40.Напишите формулы, по которым следует находить вероятность того, что при 4 2 Задача 41.Из набора домино случайно вытаскивают одну «доминошку», записывают сумму очков на а) 0,4219б) 0,1406в) 0,5781г) 0,0029 Задача1. 30 абитуриентов на 4 вступительных экзаменах набрали в сумме такие количества Задача 2.После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения:а) определите объем выборки;б) Ответ:а) 200б) 5г) 1 и 100 Задача 3.В нашем классе были собраны данные о месяцах рождения учеников: Задача 4.Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие: Ответ: Задача 5. Постройте график распределения частот и многоугольник частот по результатам письменного экзамена по математике: 6,7,7,8,9,2,10,6,5,6,7,3,7,9,9,2,3,2,6,6,6,7,8,8,2,6,7,9,7,5,9,8,2,6,6,3,7,7,6,6. Решение.Дана выборка объема 40. Ее ряд данных – 2,3,5,6,7,8,9,10.Оценка в 1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Задача 6.Измерили длины слов (количество букв)в приведенном отрывке поэмыА.С.Пушкина «Медный всадник».Построить гистограммы Гистограмма распределения кратностейКратность76543210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Задача 7.Алфавит разбит по порядку на три одинаковых участка: №1 от а Ответ: Задача 8.В вашем классе соберите данныео днях рождения учеников.а) разбейте общий ряд Задача 9. 10 девятиклассников получили за тест по комбинаторике баллы 9,14,12,9,15,12,9,15,12,12 из Задача 10.У 25 ребят спросили, сколько в среднем часов в день они Ответ: а) 9 Задача 11.Деталь по плану должна весить 431г.Контроль при взвешивании 2000 деталей дал Ответ:а) г) 91% Задача 12. В таблице приведены данные опроса, который проводился среди девятиклассников, о Решение. Чтобы найти долю многодетных семей, поделим количество многодетных семей на их общее количество:Ответ: 0,14. Задача 13. Перед вами итоговая таблица группового этапа лиги чемпионов 2009/2010 годов Решение. Чтобы найти среднее количество голов за игру, нужно поделить общее количество Задача 14. В таблице указано количество книг, прочитанных каждым из учеников за Решение. Среднее арифметическоеЧтобы найти медиану, числа нужно упорядочить: 0, 1, 3, 5, Задача 15. Ученик засекал в течение недели время, которое он тратит на Решение 1. Найдем среднюю продолжительность дороги в школу, затем - среднюю продолжительность Решение 2. Найдем ежедневную разность между дорогой из школы и Задача 16. В течение четверти Таня получила следующие отметки по Решение. Каждую из оценок нужно взять в том количестве, сколько раз она Задача 17.Президент компании получает зарплату 100 000 р. в месяц, четверо его Решение. Как и в предыдущей задаче, каждую зарплату нужно взять с Задача 18.Какое из следующих утверждений неверно:1) если набор состоит из одинаковых чисел, Решение. Любой симметричный ряд обладает таким свойством, например: 1, 2, 3, 4, Задача 19.Средний возраст участников школьного хора составляет 14 лет. Каких участников в Ответ: невозможно ответить по этим данным. Возможны все три ситуации, например, 12, Многоугольник распределения кратностей Кратность Многоугольник распределения частот Частота варианты Задача 20. В классе 40 учеников. Во время урока физкультуры Решение. Угол сектора диаграммы, соответствующего второй группе (футбол), очевидно, равен 180°. Он Задача 21. Владелец газетного киоска решил выяснить, кто чаще покупает 1) Сколько газет купили женщины в понедельник? 2) Сколько   Задача 22. По заданию учителя в ноябре школьник проводил метеорологические Решение. Самым холодным было 10 ноября, когда температура была равна Задача 23. Контрольную работу по математике писали 32 школьника. Из   Поэтому таблица с данными примет следующий вид.  Задача 24. Среднее арифметическое числового набора равнялась 10, медиана 12, размах 5. Решение. После умножения на 3 все характеристики тоже умножились на 3: 30, Задача 25.Завод по производству CD-дисков в течение рабочей недели (5 дней) проводил Решение. Найдём долю бракованных дисков среди всех отобранных:8+12+5+7+10 = 42 = 0,042. Задача 26.В таблице показаны средний балл и количество участников выпускного экзамена в Решение. Что бы найти средний балл по городу нужно взять средний балл Задача 27. Поезда прибывали на станцию метро со следующими Решение. Исходный набор не совсем числовой: каждый интервал выражен в смешанных единицах Задача 28. Средний возраст 11 игроков футбольного клуба «Динамо», вышедших на Решение. Если обозначить через x возраст игрока, ушедшего с поля, а через Задача 29. Числовой набор состоит из всех двухзначных нечётных чисел: 11, 13, Решение. Данный набор образует арифметическую прогрессию с первым членом 11 и разностью Задача 30. Средний рост в 9 «А» классе составляет 156 Решение. Чтобы показать, что утверждения 1-3 не обязательно должны выполнятся, приведём соответствующие Задача 31. При каких значениях a в числовом наборе а) а≥3. При а Задача 32. Три девятых класса писали итоговую контрольную работу по математике. Решение. Объясним ответ для каждого класса. 9 «А»: если размах 3, то Задача 33. Из урожая картофеля, собранного на одной из опытных Решение. Чтобы разобраться в этих данных, расположим из в порядке возрастания числовых Для построения полигона сначала вычислим относительные частоты, и их значения представим в Задача 34. Осуществляя в 10 пробирках реакцию этерификации между Решение. Для начала проранжируем данный ряд: 2,5; 2,5; 3; 3; 4; 4; Задача 35. Специалист страховой компании подготовил отчёт о результатах Решение. Общая сумма ущерба по пяти страховым случаям равна 5 х 6258=31290 Задача 36. Торговая компания хочет понять сколько денег тратят её покупатели за 2) Какие покупки, мелкие, средние или крупные, делаются чаще всего?3) Что можно Решение.1) Таблица с результатами подсчётов выглядит следующим образом.2) Из этой таблицы ясно Задача 37. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. Учительница задала каждому Подсчитайте среднее число правильно решённых задач одним мальчиком Среднее число правильно решённых задач одним мальчиком равно:х= 15+12+8+16+14+11+17+7+16+20+15+14 = 165 = Задача 1. В первый ящик положили 5 мобильников, а во второй – Задача 2. В первом ящике 5 мобильников с зеленым корпусом, а во Задача 3. Сколько не более чем трехзначных чисел можно составить из цифр Решение.Надо узнать, сколько можно составить однозначных, двузначных или трехзначных чисел. По Задача 4.В одной вазе лежит5 яблок, а в другой -8 а) N = 5+8 = 13 б) N = 5· 8 = 40Ответ:13; 40. Задача 5.Ученик должен выполнить практическую работупо математике.Ему предложили на выбор 17 тем N = 17+13 = 30 Ответ: 30. Задача 6.В танцевальном кружке 5 мальчиков и 4 девочки. Руководитель N = 5·4 = 20Ответ: 20. Задача 7. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 Денежно-вещевая лотерея в выборе Задача 8.Сколько имеется путей, которыми можно попасть из города А в город N = 2·3 = 6Ответ: 6. Задача 9.На книжной полке стоят 25 книг по математике, 15 – по N = 25· 15· 10 = 3750Ответ: 3750. Задача 10.Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9? Решение.Составим таблицу: слева от первого столбца – первые цифры искомых чисел, а Задача 11.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4,7, если цифры в числе не повторяются? Задача 12.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а Решение. Задача13.Сколько двузначных чисел можно 9 строк ·10 столбиков Задача14.Служитель зоопарка должен дать зайцу 2 различных овоща.Сколькими способами он может это Завтрак зайца1 овощ Задача15.Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Маршрут1 город Задача16.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде Ответ: 6. Задача17.В коридоре висят три лампочки.Сколько различных способов освещения коридора? Задача 18.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при условии, Решение. Задача19.В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? Р4 = 4! = 1· 2· 3· 4 = 24 Ответ: 24. Задача 20.Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы Р8= 8!=1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8 = Задача 21.Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев? Р12 = 12! = 479001600 Ответ: 479001600. Задача 22.Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд? Р7 = 7! = 5040 Ответ: 5040. Задача 23.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при условии, Задача 24.У нас есть 9 книг из серии «Занимательная математика». Сколькими способами Решение. 3 Задача 25.Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест,если в розыгрыше участвуют7 команд? А³7 = 7 ·6 ·5 = 210 Ответ: 210. Задача 26.Сколько вариантов расписанияможно составить на один день,если всего имеется 8 учебных А³8 = 8 ·7· 6 = 336 Ответ: 336. Задача 27.Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить А³5 = 5 ·4 ·3 = 60 Ответ: 60. Задача 28.В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд? А²12 = 12· 11 = 132 Ответ: 132. Задача 29.Сколько различных музыкальных фразможно составить из 6 нот,если не допускать в одной фразеповторения звуков? Музыкальные фразы отличаются Задача 30.Сколько сигналов можно подать5 различными флажками,поднимая их в любом количествеи в произвольном порядке? 1 2 Задача 31.В тренировках участвовали 12 баскетболистов.Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер? 5С12 = 12! = 7!·8·9·10·11·12 = Задача 32.Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет«5 из 36»? 5 С36 = 36! = 31!·32·33·34·35·36 Задача 33.Сколькими способами читатель может выбрать 2 книжки из 6 имеющихся? 2С6 = 6! = 5·6 = 15 Задача 34.Сколькими способами можносоставить дозор из трех солдат и одного офицера, если 3 1 Задача 35.Сколькими способами можновыбрать двух человек в президиум,если на собрании присутствует78 человек? 2 Задача 36.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5? Задача 37. В кондитерском магазине продают 4 сорта пирожных: эклеры, песочные, бисквитные Решение.Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают пирожные в коробку. Задача 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»? Решение.Всего 6 букв. Одинаковые буквыn«а» = 3, n«н» = 2, n«с» = Задача 39. Семь девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг? Решение.Если бы девушки стояли на месте, то их было быР7 = 7! Задача 40.Сколко ожерелий можно составить из 7 бусинок? Задача 41.На сувениры в «Поле Чудес»спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи.Сколькими ~ 9 9 Задача 42.Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»? Всего букв в слове 9. Одинаковые буквы Задача 43.В книжный магазин поступилироманы Ф.Купера«Прерия», «Зверобой», «Шпион»,«Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене.Сколькими ~17С5 = (17+5-1)! = 21! = 5985 Задача 44.Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита и трех цифр.Сколько различных номеров автомашинможно составить? Используемая литература:1.А.Н.Мордкович,П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка
Слайды презентации

Слайд 2 Задача 11.Проверено 100 деталей.
Среди них оказалось 80

Задача 11.Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?

стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?

Слайд 3 Решение.
Пусть событие А – при проверке деталь
оказалась

Решение.Пусть событие А – при проверке деталь оказалась стандартной. По определению

стандартной.
По определению относительная частота
появления этого события

W(A)

= 80 = 0,8
100

Ответ: 0,8.

Слайд 4 Задача 12.Естествоиспытатель К.Пирсон подбрасывал монету
и записывал полученный

Задача 12.Естествоиспытатель К.Пирсон подбрасывал монету и записывал полученный результат. Проделав эту

результат.
Проделав эту операцию 24000 раз, обнаружил,
что герб

выпадал в 12012 случаях.
Какова относительная частота выпадения герба?

Слайд 5 Решение.
Относительная частота выпадения герба

W(A) = 12012 = 0,5005

Решение.Относительная частота выпадения гербаW(A) = 12012 = 0,5005 ≈ 1

≈ 1

24000 2


Ответ: 1 .
2

Слайд 6 Задача 13.Отдел технического контроля обнаружил
5 бракованных книг

Задача 13.Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных книг в партии из


в партии из случайно
отобранных 100 книг.
Найти относительную

частоту появления
бракованных книг.

Слайд 7 Ответ: 0,05.

Ответ: 0,05.

Слайд 8 Задача 14.По цели произведено
20 выстрелов,
причем зарегистрировано
18

Задача 14.По цели произведено 20 выстрелов,причем зарегистрировано 18 попаданий.Найти относительную частоту попаданий в цель.

попаданий.
Найти относительную частоту
попаданий в цель.

Слайд 9 Ответ:0,9.

Ответ:0,9.

Слайд 10 Задача 15.При испытании партии приборов
относительная частота
годных

Задача 15.При испытании партии приборов относительная частота годных приборов 0,9.Найти число

приборов 0,9.
Найти число годных приборов,
если всего было проверено


200 приборов.

Слайд 11 Ответ: 180.

Ответ: 180.

Слайд 12 Задача 16.На отрезок ОА длины ℓ числовой оси

Задача 16.На отрезок ОА длины ℓ числовой оси Ох наудачу поставлена

Ох наудачу поставлена точка В(x). Найти вероятность того, что

меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую ℓ/3.
Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит
от его расположения на числовой оси.

Слайд 13 Решение.
Разобьем отрезок ОА точками М и К на

Решение.Разобьем отрезок ОА точками М и К на три равные части.Требование

три равные части.
Требование задачи будет выполнено, если точка В(x)

попадет на отрезок МК длины ℓ .
3

Искомая вероятность Р = ℓ : ℓ = 1 .
3 3

Ответ: 1 .
3

О

М К

А

В(x)

X

Слайд 14 Задача 17.Если абонент ждет телефонного вызова с 2

Задача 17.Если абонент ждет телефонного вызова с 2 до 3 часов,

до 3 часов,
то какова вероятность того, что этот

вызов пройдет
с 2ч 30мин до 2ч 40мин.?

Слайд 15 Решение.
Пусть событие D – вызов произошел в течение

Решение.Пусть событие D – вызов произошел в течение 10мин после половины


10мин после половины третьего.
Изобразим все исходы испытания в виде

отрезка ОА
на прямой Ох:




Событие D произойдет, если точка (вызов)
окажется на отрезке СВ.
Следовательно, Р(D) = СВ = 1 .
ОА 6

Ответ: 1 .
6

О С В А

х

Слайд 16 Задача 18.На листок бумаги в клетку
со стороной

Задача 18.На листок бумаги в клетку со стороной 10мм падает кружок

10мм падает кружок
диаметра 2мм.
Какова вероятность того, что

кружок целиком попадет внутрь клетки?

Слайд 17 Решение.
На рисунке заштрихована область,
попадание центра кружка в

Решение.На рисунке заштрихована область, попадание центра кружка в которую дает возможность

которую
дает возможность утверждать,
что кружок не заденет ни

одной из сторон квадрата.
Эта область представляет собой квадрат
со стороной 8мм.
Искомая вероятность равна
Р(А) = 8·8 = 0,64.
10·10

Ответ: 0,64.



2

8

10

Слайд 18 Задача 19.В круг, радиус которого равен R, вписан

Задача 19.В круг, радиус которого равен R, вписан правильный треугольник.Какова вероятность


правильный треугольник.
Какова вероятность того,
что на удачу взятая точка

круга окажется
внутри треугольника?



А

В

С

к

Слайд 19

Пусть событие D состоит в том, что

Пусть событие D состоит в том, что наудачу

выбранная точка окажется внутри треугольника.
Так как точка выбирается на удачу, можно допустить,
что все исходы испытания распределены равномерно.

Следовательно, Р(D) = SΔАВС.
Sкруга

Но площадь круга Sкруга = πR²,
а площадь треугольника
SΔАВС = 3√3R² .
4
Отсюда Р(D) = 3√3 R²· πR² ≈ 0,414…
4

Ответ: 0,414.


Слайд 20
А
С
D
А1
В1
С1
D1
Задача 20.Внутри прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого равны 4,6,10см,

АСDА1В1С1D1Задача 20.Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4,6,10см, наудачу выбирается точка


наудачу выбирается точка М.
Какова вероятность того,
что она

окажется внутри
данного куба,
ребро которого 3см?

В


4

6

10

3

3

к

Слайд 21 Решение.
Пусть событие N – точка оказалась внутри куба

Решение.Пусть событие N – точка оказалась внутри куба с ребром, равным

с ребром, равным 3см.
Будем считать, что исходы испытания
распределены

равномерно.
Тогда вероятность наступления события N
пропорциональна мере этого куба и равна
Р(N) = Vкуба
Vпар.
Но объем куба Vкуба = 27см³,
а объем параллелепипеда Vпар. = 240см³.

Следовательно, Р(N) = 27 = 0,1125.
240

Ответ: 0,1125.

Слайд 22 Задача 21.Два друга Х и У условились встретиться

Задача 21.Два друга Х и У условились встретиться в определенном месте

в определенном месте между
12 и 13 часами,
при

этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи друзей Х и У,
если приход каждого из них
в течение указанного часа
может произойти
наудачу и моменты прихода
независимы?

Х

У

Слайд 23 Пусть момент прихода друзей Х и У соответственно

Пусть момент прихода друзей Х и У соответственно x и y.Для

x и y.
Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и

достаточно выполнения неравенства |х-у| ≤ 20, или -20 ≤ х-у ≤ 20.
В прямоугольной системе координат множество точек (х;у),
координаты которых удовлетворяют неравенству, образуют полосу (рис.в):

у

у

у

у

х

х

х

х


20

-20

20

-20

20

20

-20

-20

0

60

60

х-у ≤20

-20≤ х-у

а)

б)

в)

г)

Все возможные исходы изображаются точками квадрата со стороной 60 (минут),
а исходы, благоприятствующие встрече, изображаются в заштрихованной области квадрата (рис.г).
Искомая вероятность Р = Sфигуры = 2000 = 5 = 0,555…≈ 0,56.
Sквадрата 3600 9

Ответ: 0,56.

-20≤ х-у≤ 20

Слайд 24 Задача 22.Минное заграждение
поставлено в одну линию
с

Задача 22.Минное заграждение поставлено в одну линию с интервалами между минами

интервалами между минами
в 100м.
Какова вероятность того,
что

корабль шириной 20м, пересекая это заграждение
под прямым углом,
подорвется на мине?
(Размерами мин можно пренебречь).

Слайд 25 Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2.

Слайд 26 Задача 23.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка.

Задача 23.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того,

Найти вероятность того,
что точка
окажется внутри
вписанного
в

круг квадрата.



к

Слайд 27 Ответ: 2 .

Ответ: 2 . π

Слайд 28 Задача 24.В урне 5 белых шаров,
3 черных,

Задача 24.В урне 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску

2 в полоску и 7 в клетку.
Найти вероятность

того, что из урны будет извлечен одноцветный шар.

Слайд 29 Решение.
1 способ
Пусть А – событие, состоящее в извлечении

Решение.1 способПусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара; В

белого шара;
В – черного шара; А+В – одноцветного

шара.
Т.к. событию А+В благоприятствует 8 исходов,
а число всех шаров в урне 17, то
Р(А+В) = 8
17

2 способ
Р(А) = 5 , Р(В) = 3 , значит, Р(А)+Р(В) = 8
17 17 17

Ответ: 8 .
17

Слайд 30 Задача 25.Имеется 100 лотерейных билетов.
Известно, что на

Задача 25.Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает

5 билетов попадает выигрыш
по 20 руб., на 10

– по 15 руб., на 15 – по 10 руб.,
на 25 – по 2 руб. и на остальные – ничего.
Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не меньше 10 руб.

Слайд 31 Решение.
Пусть А,В,С – события, состоящие в том,
что

Решение.Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что на купленный билет

на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20,15 и

10 руб.
Т.к. события А,В и С несовместны, то

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3
100 100 100

Ответ: 0,3.

Слайд 32 Задача 26.В коробке 250 лампочек, из них
100

Задача 26.В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт,

по 100 Вт, 50 – по 60 Вт, 50

- по 25 Вт,
50 - по 15 Вт.
Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки
не превысит 60 Вт.

Слайд 33 Решение.
Пусть А – событие, состоящее в том, что

Решение.Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна

мощность лампочки
равна 60 Вт, В – 25 Вт,

С – 15 Вт, D – 100 Вт. События А,В,С,D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть
достоверное событие, т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1.
События «мощность лампочки не более 60 Вт»
и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные.
По свойству противоположных событий
Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D),
Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3
250 250 5

Ответ: 3 .
5

Слайд 34 Задача 27.В коробке лежат 30 галстуков, причем 12

Задача 27.В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные,

из них красные,
остальные белые.
Определить вероятность того, что


из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета.

Слайд 35 Решение.
Пусть А – событие, состоящее в том, что

Решение.Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука

все 4 галстука будут красные,

В – все 4 галстука будут белые.
4 галстука из 30 красных можно выбрать
4 4
С30 способами, а из 12 - можно выбрать С12 способами.
Поэтому вероятность того, что все 4 галстука будут красные, равна
4 4
Р(А) = С12 = 11 , аналогично белые Р(В) = С18 = 68 .
4 609 4 609
С30 С30
Т.к все 4 галстука должны быть одного цвета, то искомая вероятность
Р = Р(А)+Р(В) = 11 + 68 = 79 = 0,13 .
609 609 609

Ответ: 0,13.

Слайд 36 Задача 28.Вероятность того, что студент сдаст экзамен на

Задача 28.Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично, равна 0,2;

отлично,
равна 0,2; на хорошо – 0,4;
на удовлетворительно

– 0,3;
на неудовлетворительно – 0,1. Определить вероятность того,
что студент сдаст экзамен.

Слайд 37

1

1 способ.

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,2+0,4+0,3 = 0,9

2 способ.
Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна 1, тогда
Р(А+В+С) = 1 – Р(D) = 1 - 0,1 = 0,9

Ответ: 0,9.

Слайд 38 Задача 29.У продавца имеется
10 оранжевых,8 синих, 5

Задача 29.У продавца имеется 10 оранжевых,8 синих, 5 зеленых и 15

зеленых
и 15 желтых шаров.
Вычислите вероятность того,
что

купленный шар
окажется оранжевым, синим
или зеленым.


Слайд 39 Ответ: 23 .

Ответ: 23 . 38

38

Слайд 40 Задача 30.В денежно-вещевой лотерее
на каждые 10000 билетов

Задача 30.В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых

разыгрывается 150 вещевых
и 100 денежных выигрышей.
Определить вероятность
выигрыша


денежного или вещевого
на один лотерейный билет.

Слайд 41

Ответ: 1 .

Ответ: 1 .

40

Слайд 42 Задача 31.В ящике 10 лампочек по15 Вт,
10

Задача 31.В ящике 10 лампочек по15 Вт, 10 – по 25

– по 25 Вт, 15 – по 60 Вт

и 25 – по 100 Вт.
Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка имеет мощность более 60 Вт,
если известно,
что число ватт на взятой лампочке – четное.

Слайд 43

Решение.

Решение.
Пусть событие А состоит в том, что лампочка имеет мощность более 60 Вт, а событие В – что число ватт является четным. Но «более 60 Вт» – это в данном случае 100 Вт и, значит, Р(АВ) = 25 = 5 ,
60 12
а «четное число ватт» – это 60 и 100 Вт, т.е. Р(В) = 40 = 2
60 3
Искомая вероятность Рв(А) = Р(АВ) = 5 : 2 = 5 .
Р(В) 12 3 8

Ответ: 5 .
8

Слайд 44 Задача 32.В первой урне находятся
6 черных и 4

Задача 32.В первой урне находятся6 черных и 4 белых шара, во

белых шара,
во второй – 5 черных и 7

белых.
Из каждой урны извлекают
по одному шару.
Какова вероятность того,
что оба шара окажутся
белыми?

15

28

Слайд 45 Пусть А1 – из первой урны извлечен белый

Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар;А2 – из

шар;
А2 – из второй урны извлечен белый шар.
События

А1 и А2 независимы.

Р(А1) = 4 = 2 , Р(А2) = 7
10 5 12

Р(А1·А2) = 2·7 = 7 .
5·12 30

Ответ: 7 .
30

Слайд 46 Задача 33.Прибор состоит из двух элементов,
работающих независимо.
Вероятность

Задача 33.Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.Вероятность выхода из строя

выхода из строя
первого элемента равна 0,2;
Вероятность выхода из

строя
второго элемента равна 0,3.
Найти вероятность того, что:
а) оба элемента выйдут
из строя;
б) оба элемента будут
работать.

Слайд 47 Пусть событие А – выход из строя первого

Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е

элемента, событие Е – выход
из строя второго элемента.

Эти события независимы ( по условию).
а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ
Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06
б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя);
Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е
Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(Ē) = 1-0,3 = 0,7
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента,
есть ĀĒ.
Р(ĀĒ) = Р(Ā)·Р(Ē) = 0,8·0,7 = 0,56.
Ответ: 0,56.

Слайд 48 Задача 34.В экзаменационные билеты включено
по 2 теоретических вопроса

Задача 34.В экзаменационные билеты включенопо 2 теоретических вопроса и по 1


и по 1 задаче.
Всего составлено 28 билетов.
Вычислить вероятность

того,
что, вынув наудачу билет,
студент ответит на все вопросы,
если он подготовил
50 теоретических вопросов
и 22 задачи.

Слайд 49 Полный ответ на билет состоит из произведения двух

Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий:Студент одновременно ответит

событий:
Студент одновременно ответит на два вопроса (событие А)

и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по 2
2
С56 = 56! = 54!55·56 = 1540
54!·2! 54!·2
Т.к. студент подготовил только 50 вопросов, то число исходов, благоприятствующих событию А, есть
2 2
С50 = 50! = 48!·49·50 = 1225 , Р(А) = С50 = 1225 = 245
48!·2! 48!·2 2 1540 308
С56
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных: Р(В) = 22 = 11.
28 14
Т.к. события А и В независимы и должны выполняться одновременно, то Р(АВ) = Р(А)·Р(В) = 245·11 = 0,625.
308·14

Ответ: 0,625.

Слайд 50 Задача 35.В Санкт-Петербург – 16 мест на практику,

Задача 35.В Санкт-Петербург – 16 мест на практику, в Киев –


в Киев – 10, в Баку – 5.
Какова вероятность

того,
что определенные три студента
попадут в один город?

Практика

Слайд 51 Событие Е – определенные три студента попадут в

Событие Е – определенные три студента попадут в один город.Это событие

один город.
Это событие может реализоваться:
или в виде события С1

– указанные 3 студента попадут
в С.- Петербург;
или в виде события С2 – попадут в Киев;
или в виде события С3 – попадут в Баку.
Каждое из этих событий можно рассматривать как совмещение трех событий.
Например, событие С1 – в С.-Петербург попадут и первый из указанных студентов (событие А1), и второй студент
(событие А2), и третий из указанных студентов
(событие А3).
Вероятности этих событий
Р(А1) = 15 , Р(А2) =РА1(Е) = 14 , Р(А1) = РА2(Е) = 13
30 29 28
Аналогично можно рассматривать и события С2 и С3.
По правилам сложения и умножения вероятностей

Р(Е) = 15·14·13 + 10· 9 · 8 + 5 · 4· 3 = 88
30·29·28 30·29·28 30·29·28 609
Ответ: 88 .
609

Слайд 52 Задача 36.Какова вероятность того,
что при 10 бросаниях

Задача 36.Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика «четверка»

игрального кубика «четверка» выпадет: а) ровно 3 раза;
б)

ровно 2 раза; в) ровно 6 раз;
г) не выпадет ни разу?

Слайд 53

Решение.
Число n независимых повторений (бросаний) равно 10.
Число k «успехов» равно 3.
Вероятность p «успеха», т.е.вероятность выпадения «четверки» при одном бросании кубика, равна 1 , а вероятность «неудачи» равна 5 .
6 6
3 3 7
а) Р10(3) = С10 (1)(5) = 120·0,00129 ≈0,155
6 6
2 2 8 6 6 4
б) Р10(2) = С10 (1)(5) в) Р10(6) = С10 (1)(5)
6 6 6 6
0 0 10 10
г) Р10(0) = С10(1)(5) = (5)
6 6 6 Ответ: а) 0,155.


Слайд 54 Задача 37.Найти вероятность того,
что при 9 бросаниях

Задача 37.Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.

монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.

Слайд 55

Решение.
«Успех» означает выпадение «орла» и его вероятность p = 0,5.
«Неудача» означает выпадение «решки» и ее вероятность q = 0,5.
Бросания предполагаем независимыми друг от друга.
Это частный случай общей схемы Бернулли, в котором
n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.
По формуле Бернулли
4 4 9-4 9
Р9(4) = С9(0,5)(0,5) = 9! · (1) = 6·7·8·9 · 1 = 7·2·9 = 63 ≈ 0,246
4!5! 2 1·2·3·4 512 512 256

Ответ: 0,246.

Слайд 56 Задача 38.За один выстрел стрелок поражает мишень с

Задача 38.За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1.Найти вероятность

вероятностью 0,1.
Найти вероятность того,
что при 5 выстрелах он

хотя бы раз попадет
в мишень.

Слайд 57

Решение.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга.
«Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1.
«Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5},
n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах
будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 0 5 5
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095

Ответ: 0,4095.

Слайд 58 Задача 39.В следующих испытаниях найдите
вероятности «успеха» и

Задача 39.В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи»:а) Бросают пару

«неудачи»:
а) Бросают пару различных монет. «Неудача» – выпадение двух

орлов.
б) Бросают игральный кубик.
«Успех» – выпадение числа,
кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков.
«Неудача» – выпадение двух
четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5.
«Успех» – среди них нет дамы пик.

Слайд 59 а) 0,75 , 0,25
б) 1 , 2

а) 0,75 , 0,25б) 1 , 2 3 3в) 0,75

3 3
в) 0,75 , 0,25
г) 31 ,

5
36 36

Слайд 60 Задача 40.Напишите формулы,
по которым
следует находить вероятность

Задача 40.Напишите формулы, по которым следует находить вероятность того, что при

того, что при 4 бросаниях игрального кубика «тройка» выпадет:
а)

ровно 2 раза
б) ровно 3 раза
в) ровно 4 раза
г) не выпадет ни разу
д) вычислите вероятности
этих событий

Слайд 61

2 2 2

2 2 2

а) С4 ·(1)·(5) ; 0,1157
6 6
3 3
б) С4 ·(1)·5 ; 0,0154
6 6
4 4
в) С4 ·(1) ; 0,00077
6
0 4
г) С4· (5) ; 0,4822
6

Слайд 62 Задача 41.Из набора домино случайно вытаскивают одну «доминошку»,

Задача 41.Из набора домино случайно вытаскивают одну «доминошку», записывают сумму очков

записывают сумму очков на ней,
и возвращают ее обратно.

Так делают 3 раза.
Найдите вероятность того, что:
а) дубль появляется ровно 1 раз;
б) дубль появляется ровно 2 раза;
в) дубль появляется хотя бы раз;
г) сумма очков на «доминошке» каждый раз больше 9.

Слайд 63 а) 0,4219

б) 0,1406

в) 0,5781

г) 0,0029

а) 0,4219б) 0,1406в) 0,5781г) 0,0029

Слайд 64

Слайд 65 Задача1. 30 абитуриентов на 4 вступительных экзаменах набрали

Задача1. 30 абитуриентов на 4 вступительных экзаменах набрали в сумме такие

в сумме такие количества баллов:20,19,12,13,16,17,15,14,16, 20,15,19,20,20,15,13,19,14,18,17,12,14,12,17,18,17,20,17,16,17.
Составьте общий ряд

данных, выборку результатов, стоящих
на четных местах и соответствующий ряд данных.

Слайд 66

Решение.
После получения «2» дальнейшие экзамены не сдаются, поэтому сумма баллов не может быть меньше 12 (12 – это 4 «тройки»).
Значит общий ряд данных состоит из чисел 12,13,14,15,16,17,18,19,20.
Выборка состоит из 15 результатов 19,13,17,14,20,19,20,…,расположенных на четных местах.
Ряд данных – это конечная возрастающая последовательность 13,14,17,19,20.




Слайд 67 Задача 2.После группировки данных эксперимента
получилась таблица их

Задача 2.После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения:а) определите объем

распределения:
а) определите объем выборки;
б) найдите наиболее часто

встретившуюся варианту;
в) допишите к таблице третью
и четвертую строки из частот
и процентных частот вариант;
г) найдите сумму чисел в третьей
и четвертой строках.

Слайд 68 Ответ:
а) 200
б) 5
г) 1 и 100

Ответ:а) 200б) 5г) 1 и 100

Слайд 69 Задача 3.В нашем классе были собраны данные
о

Задача 3.В нашем классе были собраны данные о месяцах рождения учеников:

месяцах рождения учеников:
а) каков объем

выборки;
б) допишите к таблице третью
и четвертую строки из частот
и процентных частот вариант;
в) укажите наиболее и наименее
часто встретившуюся варианту.

Слайд 70 Задача 4.Выборка состоит из всех букв, входящих в

Задача 4.Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие: «…Это

двустишие:
«…Это дерево – сосна,

И судьба сосны ясна…».
а) выпишите ряд данных выборки;
б) найдите объем выборки;
в) определите кратность
и частоту варианты «о»;
г) какова наибольшая процентная
частота вариант выборки?

Слайд 71

Ответ:

Ответ:

а) а, б, в, д, е, и, н,
о, р, с, т, у, ы, ь, э, я
б) 30
в) 4; 2
15
г) 20% (буква «с»)

Слайд 72 Задача 5. Постройте график распределения частот
и многоугольник

Задача 5. Постройте график распределения частот и многоугольник частот по результатам письменного экзамена по математике: 6,7,7,8,9,2,10,6,5,6,7,3,7,9,9,2,3,2,6,6,6,7,8,8,2,6,7,9,7,5,9,8,2,6,6,3,7,7,6,6.

частот по результатам письменного экзамена по математике: 6,7,7,8,9,2,10,6,5,6,7,3,7,9,9,2,3,2,6,6,
6,7,8,8,2,6,7,9,7,5,9,8,2,6,6,3,7,7,6,6.

Слайд 73 Решение.
Дана выборка объема 40. Ее ряд

Решение.Дана выборка объема 40. Ее ряд данных – 2,3,5,6,7,8,9,10.Оценка в

данных – 2,3,5,6,7,8,9,10.
Оценка в 2 балла встретилась 5 раз,

т.е. кратность варианты 2 равна 5.
Сделав то же для других оценок, найдем их кратности: 5,3,2,11,9,4,5,1
(можно проверить: 5+3+2+11+9+4+5+1 = 40).
Частота появления двух баллов равна 5 = 1 = 0,125 = 12,5%.
40 8
Вычислив остальные частоты, составим таблицу и строим графики.

Слайд 74
11
10
9
8
7
6
5
4

1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3
2
1
0

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 варианта

Кратность варианты

Многоугольник распределения
кратностей

Частота
варианты

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 варианта

0,75



0,5


0,25


0,1

Многоугольник распределения
частот

Мода

Размах

Слайд 75 Задача 6.Измерили длины слов
(количество букв)
в приведенном отрывке

Задача 6.Измерили длины слов (количество букв)в приведенном отрывке поэмыА.С.Пушкина «Медный всадник».Построить

поэмы
А.С.Пушкина «Медный всадник».
Построить гистограммы
распределения кратностей и частот,
выбрав

интервалы 1-3, 4-6,7-9
для вариант выборки.

«…Ужасен он в окрестной мгле! 6,2,1,9,4
Какая дума на челе! 5,4,2,4
Какая сила в нем сокрыта, 5,4,1,3,7
А всем коне какой огонь! 1,1,3,4,5,5
Куда ты скачешь, гордый конь, 4,2,7,6,4
И где опустишь ты копыта?...» 1,3,8,2,6

Слайд 76 Гистограмма распределения кратностей
Кратность
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5

Гистограмма распределения кратностейКратность76543210 1 2 3 4 5 6 7 8

6 7 8 9 длина слова

Гистограмма распределения частот
Частота %

30
25
20
15
10
5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 длина слова

20





20

23,3


6,7

Слайд 77 Задача 7.Алфавит разбит по порядку
на три одинаковых

Задача 7.Алфавит разбит по порядку на три одинаковых участка: №1 от

участка:
№1 от а до й,
№2 от к до

у,
№3 от ф до я.
а) найти кратность и процентную
частоту участка №3;
б) составьте таблицу распределения частот участков;
в) укажите участок наибольшей частоты;
г) постройте гистограмму частот
с выбранным распределением
на участки.

Слайд 78

Ответ: а) 9,15% ;

Ответ:
а) 9,15%

;
б)

г) №7




Слайд 79 Задача 8.В вашем классе соберите данные
о днях рождения

Задача 8.В вашем классе соберите данныео днях рождения учеников.а) разбейте общий

учеников.
а) разбейте общий ряд данных
на три участка:
№1

– 1-10, №2 – 11-20,
№3 – 21-31, и составьте таблицу
распределения частот;
б) постройте соответствующую гистограмму;
в) рассмотрите шесть участков:
№1 – 1-5, №2 – 6-10,…,№6 – 26-31, и составьте таблицу
распределения частот;
г) постройте соответствующую гистограмму.

Слайд 80 Задача 9. 10 девятиклассников получили за тест по

Задача 9. 10 девятиклассников получили за тест по комбинаторике баллы 9,14,12,9,15,12,9,15,12,12

комбинаторике баллы 9,14,12,9,15,12,9,15,12,12
из 20 возможных.
Найти среднее значение

выборки
результатов теста, размах и моду.

Слайд 81

Решение.
По правилу нахождения среднего арифметического:
9+14+12+9+15+12+9+15+12+12 = 119 = 11,9
10 10
По общему правилу нахождения
среднего значения выборки:
9·3+12·4+14·1+15·2 =
10
= 9·0,3+12·0,4+14·0,1+ 15·0,2 =11,9
Всего имеется 10 результатов, самый маленький – 9,
самый большой – 15. Размах 15-9 = 6.
Мода (часто встречающееся значение в выборке) – 12
(эта варианта встречается 4 раза).

Ответ: 11,9; 6; 12.






Слайд 82 Задача 10.У 25 ребят спросили, сколько в среднем

Задача 10.У 25 ребят спросили, сколько в среднем часов в день

часов в день они смотрят телевизор. Вот что получилось:

Определите

: а) размах; б) моду;
в) среднее арифметическое выборки; г) постройте многоугольник частот,
и укажите на нем данные
из пунктов а)-в).

Слайд 83 Ответ:

Ответ: а) 9 б) 2 в) 1,8

а) 9
б)

2
в) 1,8

Слайд 84 Задача 11.Деталь по плану должна
весить 431г.
Контроль при

Задача 11.Деталь по плану должна весить 431г.Контроль при взвешивании 2000 деталей

взвешивании
2000 деталей
дал такие результаты:
а) составьте таблицу распределения


частот в процентах;
б) постройте многоугольник частот
(для удобства из всех вариант
вычтите по 431);
в) каков процент деталей, вес которых отличается от планового
не более, чем на 2г.

Слайд 85 Ответ:

а)

Ответ:а) г) 91%

г) 91%

Слайд 86 Задача 12.
В таблице приведены данные опроса, который

Задача 12. В таблице приведены данные опроса, который проводился среди девятиклассников,

проводился среди девятиклассников, о количестве детей в их семьях.




Какова

доля многодетных семей (то есть имеющих 3 и более детей) среди опрошенных?

Слайд 87 Решение. Чтобы найти долю многодетных семей, поделим количество

Решение. Чтобы найти долю многодетных семей, поделим количество многодетных семей на их общее количество:Ответ: 0,14.

многодетных семей на их общее количество:







Ответ: 0,14.



Слайд 88 Задача 13.
Перед вами итоговая таблица группового этапа

Задача 13. Перед вами итоговая таблица группового этапа лиги чемпионов 2009/2010

лиги чемпионов 2009/2010 годов в группе С.
(И – количество

игр, В – выигрышей, Н – ничьих,
П – поражений, Гз – забитых голов, Гп – пропущенных голов, О – набранных очков).
Сколько голов забивалось в среднем за одну игру в этом турнире?

Слайд 89
Решение. Чтобы найти среднее количество голов за игру,

Решение. Чтобы найти среднее количество голов за игру, нужно поделить общее

нужно поделить общее количество голов на количество игр. Каждая

команда сыграла по 6 игр, всего команд – 4, в каждой игре участвовало 2 команды, поэтому количество игр равно


Чтобы найти количество голов, нужно сложить числа в столбце «Гз» или «Гп» (но не то и другое вместе!):
15 + 8 + 10 + 5 =38. Среднее количество голов за игру равно


Ответ: 3

1
6

1
6

Слайд 90 Задача 14.
В таблице указано количество книг, прочитанных

Задача 14. В таблице указано количество книг, прочитанных каждым из учеников

каждым из учеников за летние каникулы:
Найдите среднее

арифметическое, медиану и моду этого набора чисел.

Слайд 91

Решение. Среднее арифметическое



Чтобы найти медиану, числа нужно упорядочить:

Решение. Среднее арифметическоеЧтобы найти медиану, числа нужно упорядочить: 0, 1, 3,


0, 1, 3, 5, 6, 8, 8, 10. Количество

чисел четно, поэтому нужно взять среднее арифметическое двух чисел, стоящих в центре: медиана

Мода – это число, которое повторяется чаще остальных, то есть 8.

Ответ: 5,125; 5,5; 8.

5

Слайд 92 Задача 15.
Ученик засекал в течение недели время,

Задача 15. Ученик засекал в течение недели время, которое он тратит

которое он тратит на дорогу в школу и из

школы.

На сколько минут в среднем дорога из школы дольше дороги в школу?

Слайд 93

Решение 1. Найдем среднюю продолжительность дороги в школу,

Решение 1. Найдем среднюю продолжительность дороги в школу, затем - среднюю

затем - среднюю продолжительность дороги из школы и найдем

их разность







23,5 – 20,5 = 3.

Ответ: 3.


Слайд 94 Решение 2. Найдем ежедневную разность между

Решение 2. Найдем ежедневную разность между дорогой из школы и

дорогой из школы и в школу, а затем вычислим

среднее арифметическое этих разностей.











Ответ: 3.

Слайд 95 Задача 16.
В течение четверти Таня

Задача 16. В течение четверти Таня получила следующие отметки по

получила следующие отметки по физике:
одну «2»;
шесть «3»;
три

«4»;
и пять»5»
Найдите среднее арифметическое и моду её оценок.

Слайд 96
Решение. Каждую из оценок нужно взять в том

Решение. Каждую из оценок нужно взять в том количестве, сколько раз

количестве, сколько раз она повторялась! Среднее арифметическое




чаще всего повторяется

оценка «3», поэтому мода равна 3.

Ответ: 3,8; 3.

Слайд 97 Задача 17.
Президент компании получает зарплату 100 000 р.

Задача 17.Президент компании получает зарплату 100 000 р. в месяц, четверо


в месяц, четверо его заместителей получают по 20 000

р., а 20 служащих компании – по 10 000 р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании.

Слайд 98



Решение. Как и в предыдущей задаче, каждую зарплату

Решение. Как и в предыдущей задаче, каждую зарплату нужно взять

нужно взять с её кратностью. Среднее арифметическое



Чтобы

найти медиану, представим, что все 25 зарплат выписаны по возрастанию. Тогда в середине, очевидно, окажутся зарплаты по 10 000 рублей, поэтому медиана равна 10 000.

Ответ: 15 200; 10 000.




Слайд 99 Задача 18.
Какое из следующих утверждений неверно:
1) если набор

Задача 18.Какое из следующих утверждений неверно:1) если набор состоит из одинаковых

состоит из одинаковых чисел, то его размах равен 0;
2)

если набор состоит из одинаковых чисел, то его среднее арифметическое и медианы равны;
3) если размах набора равен 0, то он состоит из одинаковых чисел;
4) если среднее арифметическое и медиана набора равны, то он состоит из одинаковых чисел.

Слайд 100
Решение. Любой симметричный ряд обладает таким свойством, например:

Решение. Любой симметричный ряд обладает таким свойством, например: 1, 2, 3,

1, 2, 3, 4, 5. Среднее арифметическое и медиана

равны 3.

Ответ: неверно утверждение 4.

Слайд 101 Задача 19.
Средний возраст участников школьного хора составляет
14

Задача 19.Средний возраст участников школьного хора составляет 14 лет. Каких участников

лет. Каких участников в хоре больше: старше 14 лет

или младше 14 лет?

Слайд 102 Ответ: невозможно ответить по этим данным. Возможны все

Ответ: невозможно ответить по этим данным. Возможны все три ситуации, например,

три ситуации, например, 12, 14, 15, 15 больше тех,

кто старше 14; 13, 13, 14, 16 – больше тех, кто младше 14; 13, 14, 15 – поровну.

Слайд 103 Многоугольник распределения кратностей

Многоугольник распределения кратностей Кратность 11 варианты

Кратность
11

варианты

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Варианта

Рис. 1

Слайд 104 Многоугольник распределения частот
Частота
варианты

Многоугольник распределения частот Частота варианты 0,75








0,75



0,5



0,25



0,1


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Варианта

Рис. 2

Слайд 105 Задача 20.
В классе 40 учеников.

Задача 20. В классе 40 учеников. Во время урока физкультуры

Во время урока физкультуры они разбиты на три группы:

школьники из первой группы играют в баскетбол, из второй – в футбол, а третья группа занимается легкой атлетикой. Информация о числе школьников в этих группах содержится в следующей круговой диаграмме.











С помощью транспортира определите число школьников в каждой группе.

Слайд 106 Решение. Угол сектора диаграммы, соответствующего второй группе (футбол),

Решение. Угол сектора диаграммы, соответствующего второй группе (футбол), очевидно, равен 180°.

очевидно, равен 180°. Он составляет

развернутого угла. Поэтому в футбол играет половина всех школьников, то есть 20 человек.
Угол сектора диаграммы, соответствующего первой группе (баскетбол), равен 36°. Он составляет

развернутого угла. Поэтому в баскетбол играет десятая часть всех школьников, то есть 4 человека. Оставшиеся школьники, 40 – 20 – 4 = 16 человек, занимаются легкой атлетикой. Это же число можно получить из нашей диаграммы. Угол сектора диаграммы, соответствующего третей группе (легкая атлетика), равен 144° Он составляет развернутого угла.
Поэтому занимаются легкой атлетикой всех школьников, то есть х 40 = 16 человек.



2
5

2
5

Слайд 107 Задача 21.
Владелец газетного киоска решил

Задача 21. Владелец газетного киоска решил выяснить, кто чаще покупает

выяснить, кто чаще покупает газеты – мужчины или женщины.

Для этого он в течение недели ежедневно фиксировал общее количество газет, купленных мужчинами, и общее число газет, купленных женщинами. Результаты этого статистического исследования показаны на столбчатой диаграмме.

Слайд 108












1) Сколько газет купили женщины в

1) Сколько газет купили женщины в понедельник? 2) Сколько газет

понедельник?
2) Сколько газет купили мужчины в пятницу?

3) Представьте данные о продажах в виде таблицы.
4) Владелец киоска думает, что женщины покупают газеты чаще, чем мужчины. Подтверждают ли данные о продажах это мнение?

Слайд 109  

 

Слайд 110
Задача 22.
По заданию учителя в

Задача 22. По заданию учителя в ноябре школьник проводил метеорологические

ноябре школьник проводил метеорологические наблюдения и, в частности, записывал

температуру воздуха на улице. Часть его результатов приведена в таблице.






Какой день из указанных был самым холодным?
Какова была температура воздуха на улице в этот день?
Каким является это значение температуры в ряду значений температур – наибольшим или наименьшим?
Найдите размах температур за период с 3 по 12 ноября.

Слайд 111 Решение.
Самым холодным было 10 ноября,

Решение. Самым холодным было 10 ноября, когда температура была равна

когда температура была равна - 10°. Это значение температуры

является наименьшим в ряду чисел -5 , -4, -5, -7, -8, -9, -6, -10, -6, -2.
Самым «теплым» было 12 ноября, когда температура была равна - 2°. Размах набора чисел – это разность между наибольшими и наименьшими числами из этого набора. В нашем случае размах равен (-2) – (-10) = 8 (градусов)

Слайд 112 Задача 23.
Контрольную работу по математике

Задача 23. Контрольную работу по математике писали 32 школьника. Из

писали 32 школьника. Из них 5 человек получили оценку

«5», 11 человек – оценку «4», 13 человек – оценку «3», а остальные – «2». Заполните до конца следующую таблицу






и подсчитайте средний балл за контрольную.

Слайд 113  

 

Слайд 114
Поэтому таблица с данными примет следующий вид.
 

Поэтому таблица с данными примет следующий вид. 

Слайд 115 Задача 24.
Среднее арифметическое числового набора равнялась 10,

Задача 24. Среднее арифметическое числового набора равнялась 10, медиана 12, размах

медиана 12, размах 5. Все числа набора умножали на

3, после чего прибавили к каждому из них 5.
Чему стали равны среднее арифметическое, медиана, размах полученного набора?

Слайд 116 Решение. После умножения на 3 все характеристики тоже

Решение. После умножения на 3 все характеристики тоже умножились на 3:

умножились на 3: 30, 36, 15. После прибавления 5

среднее арифметическое и медиана увеличились на 5 а размах не изменился: 35, 41, 15

Ответ: 35; 41; 15.

Слайд 117 Задача 25.
Завод по производству CD-дисков в течение рабочей

Задача 25.Завод по производству CD-дисков в течение рабочей недели (5 дней)

недели (5 дней) проводил проверку качества своей продукции. Для

этого ежедневно тестировалось 200 случайно отобранных дисков. В каждый из пяти дней было обнаружено соответственно 8, 12, 5 , 7, 10 бракованных дисков.
Сколько бракованных дисков можно ожидать в партии из
10 000 дисков?

Слайд 118 Решение. Найдём долю бракованных дисков среди всех отобранных:
8+12+5+7+10

Решение. Найдём долю бракованных дисков среди всех отобранных:8+12+5+7+10 = 42 =

= 42 = 0,042.
200·5

1000

В партии из 10 000 дисков следует ожидать 10000·0,042=420 бракованных.

Ответ: 420

Слайд 119 Задача 26.
В таблице показаны средний балл и количество

Задача 26.В таблице показаны средний балл и количество участников выпускного экзамена

участников выпускного экзамена в каждой из 5 школ города.


Найдите средний балл выпускного экзамена по всему городу

Слайд 120 Решение. Что бы найти средний балл по городу

Решение. Что бы найти средний балл по городу нужно взять средний

нужно взять средний балл по каждой школе с кратностью,

равной числу её выпускников

60·60+54·70+68·30+72·50+54·70 = 16800 = 60
60+70+30+50+70 280

Ответ: 60.

Слайд 121 Задача 27.
Поезда прибывали на

Задача 27. Поезда прибывали на станцию метро со следующими интервалами:2

станцию метро со следующими интервалами:
2 мин. 8 с;
1

мин. 58 с;
2 мин. 10 с;
1 мин. 57 с;
2 мин. 12 с.
Найдите среднее арифметическое и медиану интервалов движения поездов.

Слайд 122 Решение. Исходный набор не совсем числовой: каждый интервал

Решение. Исходный набор не совсем числовой: каждый интервал выражен в смешанных

выражен в смешанных единицах – минутах и секундах. Переведём

все интервалы в секунды:
128, 118, 130, 117, 132.
Теперь найдём среднее в секундах:

128+118+130+117+132 = 625 = 125 с.
5 5
Можно снова перейти к смешанным единицам: среднее арифметическое равно 2 мин. 5 с. Медиана равна 2 мин. 8 сек.

Ответ: 2 мин. 5 с; 2 мин. 8 с.

Слайд 123 Задача 28.
Средний возраст 11 игроков футбольного

Задача 28. Средний возраст 11 игроков футбольного клуба «Динамо», вышедших на

клуба «Динамо», вышедших на игру составил 26 лет. После

замены одного из игроков средний возраст уменьшился и стал равен 25. На сколько лет игрок вышедший на замену, младше игрока, ушедшего с поля?

Слайд 124 Решение. Если обозначить через x возраст игрока, ушедшего

Решение. Если обозначить через x возраст игрока, ушедшего с поля, а

с поля, а через y – вышедшего на замену,

то разность средних арифметических до замены и после будет равна
x-y. По условию задачи эта разность равна 26-25=1
11
Отсюда x-y=11

Ответ: 11

Слайд 125 Задача 29.
Числовой набор состоит из всех двухзначных

Задача 29. Числовой набор состоит из всех двухзначных нечётных чисел: 11,

нечётных чисел: 11, 13, 15,…, 97, 99
Найдите его среднее

арифметическое и медиану.

Слайд 126 Решение. Данный набор образует арифметическую прогрессию с первым

Решение. Данный набор образует арифметическую прогрессию с первым членом 11 и

членом 11 и разностью 2. Всего в наборе 45

чисел. Посередине на 23-м месте находится число 55 (23-й член прогрессии)
Сумму всех чисел набора можно найти как сумму арифметической прогрессии:
11+99 · 50=2750.
2
Отсюда среднее арифметическое равно
2750 = 55; медиана равна 55.
50
Ответ: 55; 55.

Слайд 127 Задача 30.
Средний рост в

Задача 30. Средний рост в 9 «А» классе составляет 156

9 «А» классе составляет 156 см, а медиана 154

см. Какое из следующих утверждений справедливо?
1) В классе обязательно есть ученик с ростом 156 см.
2) В классе обязательно есть ученик с ростом 154 см.
3) В классе обязательно есть ученик с ростом менее 154 см.
4) В классе обязательно есть ученик с ростом более 156 см.

Слайд 128 Решение. Чтобы показать, что утверждения 1-3 не обязательно

Решение. Чтобы показать, что утверждения 1-3 не обязательно должны выполнятся, приведём

должны выполнятся, приведём соответствующие примеры:
1) 154, 154, 160;
2) 153,

153, 155, 163;
3) см. пример для 1).
А вот утверждение 4) будет выполнено: если в классе нет учеников выше 156 см, то их средний рост может равняться 156 см только в том случае, если все они имеют такой рост. Но тогда и медиана будет равна 156 а не 154.

Ответ: справедливо утверждение 4

Слайд 129 Задача 31.
При каких значениях

Задача 31. При каких значениях a в числовом наборе 1,

a в числовом наборе 1, 2, 3, 4, а


а) медиана будет равняться 3?
б) среднее арифметическое будет равняться 3?
в) среднее арифметическое будет совпадать с медианой?

Слайд 130 а) а≥3. При а

а) а≥3. При а

или а;
б) а=5. 1+2+3+4+а = 3, откуда а=5;

5
в) а=0; а=2,5; а=5. Медиана приведённого числового набора равна:
2 при а≤2, а при 2<а<3, 3 при а≥3 Среднее арифметическое равно:
1+2+3+4+а .
5
Получаем 3 уравнения с соответствующими условиями на а:
1+2+3+4+а = 2 (а≤2);
5
1+2+3+4+а = а (2<а<3);
5
1+2+3+4+а = 3 (а≥3).
5
Их корни и будут ответом.

Слайд 131 Задача 32.
Три девятых класса писали итоговую

Задача 32. Три девятых класса писали итоговую контрольную работу по математике.

контрольную работу по математике. После выставления оценок были посчитаны

числовые характеристики полученных числовых наборов и занесены в таблицу.

Очевидно, что полностью восстановить по этим данным невозможно. А можно ли определить, в каких классах были двойки а в каких не было?

Слайд 132 Решение. Объясним ответ для каждого класса.
9 «А»:

Решение. Объясним ответ для каждого класса. 9 «А»: если размах 3,

если размах 3, то обязательно были 2 и 5.
9

«Б»: поскольку размах 2, то все оценки лежат либо от 2 да 4, либо от 3 до 5. (Причём концы диапазонов обязательно присутствуют.) Для диапазона от 2 до 4 среднее не может равняться 4, поэтому лежат
от 3 до 5.
9 «В»: поскольку размах 2, то все оценки лежат либо от 2 до 4, либо
От 3 до 5 (Причём концы диапазонов обязательно присутствуют.) Предположим, что это диапазон от 2 до 4; тогда четвёрок должно больше половины всех оценок (ведь 4 - медиана, а пятёрок в этом случает нет вообще), но тогда 3 не может быть модой – пришли к противоречию. Значит все оценки лежат от 3 да 5.
Ответ: 9 «А» - были, 9 «Б» и 9 «В» - не было.

Слайд 133 Задача 33.
Из урожая картофеля, собранного

Задача 33. Из урожая картофеля, собранного на одной из опытных

на одной из опытных делянок, случайным образом было отобрано

25 клубней, в которых подсчитывалось число глазков. Результат оказался следующий:
6, 9, 5, 10, 7, 9, 8, 10, 9, 10, 8, 11, 9, 12, 9, 10, 8, 10, 11, 9, 10, 9, 8, 7, 11.
Требуется построить вариационный ряд, столбчатую диаграмму (вариант; частота), полигон относительных частот.

Слайд 134 Решение. Чтобы разобраться в этих данных, расположим из

Решение. Чтобы разобраться в этих данных, расположим из в порядке возрастания

в порядке возрастания числовых значений признака, т.е. ранжируем таким

образом, чтобы посчитать, сколько раз каждая варианта (хi) встречается в данной совокупности. Получим ряд: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12. Так как признак варьирует в пределах от 5 до 12 единиц, то вариационный ряд представим следующим образом:


Тогда столбчатая диаграмма имеет вид:

Слайд 135
Для построения полигона сначала вычислим относительные частоты, и

Для построения полигона сначала вычислим относительные частоты, и их значения представим

их значения представим в следующей таблице.



На основании полученных данных

строим полигон относительных частот (частностей):



Относительные
частоты






Количество глазков в картофеле

Слайд 136 Задача 34.
Осуществляя в 10

Задача 34. Осуществляя в 10 пробирках реакцию этерификации между этиловым

пробирках реакцию этерификации между этиловым спиртом (С2Н5ОН) и уксусной

кислоты (СН3СООН), лаборант получил в каждой из них этилацетат (СН3СООС2Н5), причём массы эфира в пробирках соответственно равны (в граммах): 2,5; 4; 3; 4,5; 3; 5; 2,5; 4; 4; 5. Определите среднее значение массы эфира в проведённых опытах.

Слайд 137 Решение. Для начала проранжируем
данный ряд: 2,5; 2,5;

Решение. Для начала проранжируем данный ряд: 2,5; 2,5; 3; 3; 4;

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5.


Тогда хв = 2,5·2+3·2+4·3+4,5·1+5·2 = 3,75 г.
10
Ответ: 3,75 г.

Слайд 138 Задача 35.
Специалист страховой

Задача 35. Специалист страховой компании подготовил отчёт о результатах

компании подготовил отчёт о результатах работы компании за прошедший

день. В частности, в отчёте говорится, что за день было заявлено 5 страховых случаев, и средний размер ущерба составил 6258 руб. Он уже собирался сдать отчёт руководителю своего отдела, как ему
сообщили о двух новых страховых случаях: на 5216 руб. и на 12074 руб.
Определите новый размер
ущерба.

Слайд 139 Решение. Общая сумма ущерба по пяти страховым случаям

Решение. Общая сумма ущерба по пяти страховым случаям равна 5 х

равна 5 х 6258=31290 руб. С учётом только что

заявленных случаев, общая сумма потерь компании по всем семи страховым случаем равна 31290+5216+12074=48580 руб. Поэтому новое значение среднего ущерба равно
48580 = 6940 руб.
7
Ответ: 6940 рублей.

Слайд 140 Задача 36. Торговая компания хочет понять сколько денег

Задача 36. Торговая компания хочет понять сколько денег тратят её покупатели

тратят её
покупатели за один визит в магазин. Первые

32 чека выбиты на
следующие суммы (в руб.):
108; 54; 62; 74; 40; 38; 85; 92; 64; 25; 80; 143; 50; 63; 38; 79; 155; 28; 61; 83; 62;
42; 76; 47; 70; 83; 35; 192; 140; 52; 64; 88.
Компанию не интересует точная сумма S, указанная в чеке; для неё покупки
делятся на мелкие (10≤S<50), средние (50≤S<100), крупные (100≤S<200). При этом компания имеет в виду, что никто из её покупателей не тратит меньше
10 рублей и (за крайне редким исключением) больше 200 рублей.

1) Заполните следующею таблицу




Во 2 столбце отмечайте каждую покупку чёрточкой формируя у них квадрат с
диагоналями: так фигура - символизирует 2 покупки, - 4 покупки, а
фигура Х - 6 покупок.



Слайд 141 2) Какие покупки, мелкие, средние или крупные, делаются

2) Какие покупки, мелкие, средние или крупные, делаются чаще всего?3) Что

чаще всего?
3) Что можно сказать о среднем размере покупки

на основе данных этой
таблицы (не используя исходные данные о точной сумме каждой покупки)?

Слайд 142 Решение.
1) Таблица с результатами подсчётов выглядит следующим образом.





2)

Решение.1) Таблица с результатами подсчётов выглядит следующим образом.2) Из этой таблицы

Из этой таблицы ясно видно, что наиболее распространены средние

покупки.
3) Про сумму S одной мелкой покупки мы знаем лишь то что 10≤S<50. Про общую сумму
Sм, потраченную на 8 мелких покупок, мы можем сказать лишь то что 80≤Sм<400.
Аналогично, относительно общей суммы Sс , потраченных на все 19 средних покупок
мы можем сказать лишь то, что 950≤Sс<1900, а про общую сумму Sк , потраченную на все
5 крупных покупок, мы можем сказать лишь то, что 500≤Sк<1000. Складывая три этих
неравенства, для общих расходов Sобщ= Sм+Sс+Sк мы получим двойное неравенство:
1530≤Sобщ<3300. Средняя сумма одной покупки равна Sобщ
32
На основе данных таблицы мы можем утверждать лишь то, что эта величина находится в
пределах от 1530 ≈ 47 руб. 81 коп. до 3300 ≈ 103 руб. 13 коп.
32 32






Слайд 143 Задача 37. В классе 12 мальчиков и 10

Задача 37. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. Учительница задала

девочек. Учительница задала каждому ученику
20 задач на сложение

двузначных чисел в уме. В таблице 1 приведены результаты этого
теста для мальчиков, а в таблице 2 - для девочек.

Слайд 144 Подсчитайте среднее число правильно

Подсчитайте среднее число правильно решённых задач одним мальчиком и

решённых задач одним мальчиком и среднее число правильно решённых

задач одной девочкой, а также размах числа правильно решённых задач мальчиками и девочками.
Можно ли с помощью этих результатов определенно сказать, кто лучше считает в уме – мальчики или девочки?

Слайд 145 Среднее число правильно решённых задач одним мальчиком равно:

х=

Среднее число правильно решённых задач одним мальчиком равно:х= 15+12+8+16+14+11+17+7+16+20+15+14 = 165

15+12+8+16+14+11+17+7+16+20+15+14 = 165 = 13,75.

12 12
Среднее число правильно решённых задач одной девочкой равно:

y= 17+15+14+16+13+17+16+12+14+16 = 150 = 15.
10 10
Для мальчиков наибольшее число правильно решённых задач равно 20, а наименьшее равно 7. Поэтому для мальчиков размах числа правильно решённых задач равен 20-7=13.
Для девочек наибольшее число правильно решённых задач равно 17, а наименьшее равно 12. Поэтому для девочек размах числа правильно решённых задач равен 17-12=5.
Таким образом, для девочек среднее число правильно решённых задач одним человеком больше чем для мальчиков. Кроме того, значения размахов показывают, что результаты девочек разбросаны гораздо меньше, то есть более стабильны. Поэтому разумно сделать вывод, что девочки этого класса лучше считают в уме, чем мальчики.

Слайд 146


Слайд 147 Задача 1. В первый ящик положили
5 мобильников,

Задача 1. В первый ящик положили 5 мобильников, а во второй

а во второй – 3 мобильника.
Сколькими способами можно

вытащить
один мобильник?

Слайд 148

Решение.

Решение.

Из 1 ящика можно вытащить
пятью способами, а из 2 – тремя способами.
Всего существует 5+3 = 8 способов.

Ответ: 8.

Слайд 149 Задача 2. В первом ящике
5 мобильников с

Задача 2. В первом ящике 5 мобильников с зеленым корпусом, а

зеленым корпусом,
а во втором – 3 мобильника
с

красным корпусом.
Сколькими способами можно вытащить один зеленый и один красный мобильник?

Слайд 150

Решение.

Решение.
Зеленые мобильники можно выбрать
пятью способами, красные – тремя способами.
Всего 1 зеленый и 1 красный можно выбрать
3 · 5 = 15 способами.
Ответ: 15.

Слайд 151 Задача 3. Сколько не более чем трехзначных чисел

Задача 3. Сколько не более чем трехзначных чисел можно составить из

можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы цифры в

числах
не повторялись?

Слайд 152 Решение.
Надо узнать, сколько можно составить
однозначных, двузначных

Решение.Надо узнать, сколько можно составить однозначных, двузначных или трехзначных чисел.

или трехзначных чисел.
По правилу суммы их будет N

= N1+N2+N3.
Однозначных чисел будет 5, значит, N1 = 5.
На месте десятков двузначных чисел можно поставить
любую из пяти цифр.
После каждого такого выбора на месте единиц
можно поставить любую из четырех оставшихся цифр,
т.к. цифры в числе не должны повторяться.
По правилу произведения N2 = 5·4 = 20.
Рассуждая аналогично,
получим число различных трехзначных чисел
N3 = 5· 4· 3 = 60.
Следовательно, N = 5+20+60 = 85.

Слайд 153 Задача 4.В одной вазе лежит
5 яблок,

Задача 4.В одной вазе лежит5 яблок, а в другой -8

а в другой -8 мандаринов.
Сколькими способами можно

выбрать:
а) яблоко или мандарин;
б) яблоко и мандарин?




Слайд 154 а) N = 5+8 = 13
б) N

а) N = 5+8 = 13 б) N = 5· 8 = 40Ответ:13; 40.

= 5· 8 = 40

Ответ:13; 40.

Слайд 155 Задача 5.Ученик должен выполнить
практическую работу
по математике.
Ему предложили

Задача 5.Ученик должен выполнить практическую работупо математике.Ему предложили на выбор 17

на выбор
17 тем по алгебре и 13 тем


по геометрии.
Сколькими способами он может выбрать одну тему
для практической работы?

Слайд 156 N = 17+13 = 30

Ответ: 30.

N = 17+13 = 30 Ответ: 30.

Слайд 157 Задача 6.В танцевальном кружке
5 мальчиков

Задача 6.В танцевальном кружке 5 мальчиков и 4 девочки. Руководитель

и 4 девочки.
Руководитель хочет отобрать пару, состоящую из

1 мальчика и 1 девочки
для участия в соревнованиях.
Сколько он должен
посмотреть пар, чтобы выбрать
лучшую пару?

Слайд 158 N = 5·4 = 20

Ответ: 20.

N = 5·4 = 20Ответ: 20.

Слайд 159 Задача 7. Имеется 5 билетов
денежно-вещевой лотереи,
6

Задача 7. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и

билетов спортлото
и 10 билетов автомотолотереи.
Сколькими способами
можно выбрать

1 билет
из спортлото
или автомотолотереи?

Слайд 160 Денежно-вещевая лотерея в выборе

Денежно-вещевая лотерея в выборе

не участвует,

поэтому
10+6=16

Ответ: 16.

Слайд 161 Задача 8.Сколько имеется путей,
которыми
можно попасть
из

Задача 8.Сколько имеется путей, которыми можно попасть из города А в

города А в город С
через город В, если

из А в В ведут
две дороги,
а из В и С – три дороги?

Слайд 162 N = 2·3 = 6

Ответ: 6.

N = 2·3 = 6Ответ: 6.

Слайд 163 Задача 9.На книжной полке стоят
25 книг по

Задача 9.На книжной полке стоят 25 книг по математике, 15 –

математике,
15 – по физике,
10 – по астрономии.
Сколькими способами

можно
выбрать
3 книги так, чтобы одна книга
была по математике,
другая – по физике
и третья – по астрономии?

Слайд 164 N = 25· 15· 10 = 3750

Ответ: 3750.

N = 25· 15· 10 = 3750Ответ: 3750.

Слайд 165 Задача 10.Сколько четных двузначных чисел можно составить из

Задача 10.Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

цифр 0,1,2,4,5,9?

Слайд 166 Решение.
Составим таблицу: слева от первого столбца – первые

Решение.Составим таблицу: слева от первого столбца – первые цифры искомых чисел,

цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые

цифры этих чисел (учитывая, что числа – четные, т.е. оканчиваются на 0,2,4).




5 строк · 3 столбика = 15 чисел
Ответ: 15.

Слайд 167 Задача 11.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры

Задача 11.Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4,7, если цифры в числе не повторяются?

1,4,7, если цифры в числе не повторяются?

Слайд 168

Решение.
При использовании правила умножения применяют схему –
дерево возможных вариантов.
Двузначное число

1 цифра числа


2 цифра числа


1

4

7

7 1 7 1 4

14,17 41,47 71,74


Ответ: 6.

Слайд 169 Задача 12.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд,

Задача 12.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс,

пряник или кекс,
а запить их он может кофе,

соком или кефиром.
Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Слайд 170

Решение. Составим таблицу. 3

Решение.
Составим таблицу.

3 строки · 4 столбика = 12 вариантов завтрака

Ответ: 12.

Слайд 171 Задача13.Сколько двузначных чисел

Задача13.Сколько двузначных чисел можно записать в десятичной системе счисления?

можно записать

в десятичной системе
счисления?

Слайд 172

9 строк ·10 столбиков = 90 чисел Ответ: 90.

9 строк ·10 столбиков = 90 чисел



Ответ: 90.

Слайд 173 Задача14.Служитель зоопарка должен дать зайцу
2 различных овоща.
Сколькими

Задача14.Служитель зоопарка должен дать зайцу 2 различных овоща.Сколькими способами он может

способами
он может
это сделать, если у него есть

морковь, свекла и капуста?

Слайд 174 Завтрак зайца
1 овощ

Завтрак зайца1 овощ М

М С К

2 овощ С К М К М С

Варианты МС, МК, СМ, СК, КМ, КС

6 вариантов, но блюда МС и СМ,
МК и КМ, КС и СК совпадают, поэтому
3 пары блюд

Ответ: 3.

Слайд 175 Задача15.Туристическая фирма планирует посещение туристами
в Италии

Задача15.Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима

трех городов:
Венеции, Рима и Флоренции.
Сколько существует вариантов
такого

маршрута?

Слайд 176 Маршрут
1 город

Маршрут1 город В

В Р Ф

2 город Р Ф В Ф В Р

3 город Ф Р Ф В Р В

Варианты ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ ФВР, ФРВ

Ответ: 6.

Слайд 177 Задача16.Несколько стран
в качестве символа своего государства
решили

Задача16.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в

использовать флаг
в виде трех горизонтальных полос одинаковых по

ширине,
но разных по цвету:
белый, синий, красный.
Сколько стран могут использовать
такую символику при условии,
что у каждой страны свой,
отличный от других,
флаг?

Слайд 178


Ответ: 6.

Ответ: 6.

Слайд 179 Задача17.В коридоре висят
три лампочки.
Сколько различных способов
освещения

Задача17.В коридоре висят три лампочки.Сколько различных способов освещения коридора?

коридора?

Слайд 180

1 способ. По правилу умножения:

1 способ. По правилу умножения:

N = 2· 2· 2 = 8
2 способ. + горит, - не горит





+++

++-

+-+

+--

-++

---

-+-

--+

Ответ: 8.

Слайд 181 Задача 18.Сколько различных пятизначных чисел можно составить
из

Задача 18.Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 при

цифр 1,2,3,4,5 при условии,
что ни одна цифра в

числе
не повторяется?

Слайд 182 Решение.

Решение. Р5 =

Р5

= 5! = 1· 2· 3· 4 ·5 = 120


Ответ: 120.

Слайд 183 Задача19.В соревнованиях участвовало 4 команды.
Сколько вариантов
распределения

Задача19.В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

мест между ними возможно?

Слайд 184 Р4 = 4! = 1· 2· 3· 4

Р4 = 4! = 1· 2· 3· 4 = 24 Ответ: 24.

= 24

Ответ: 24.

Слайд 185 Задача 20.Сколькими способами можно расположить
на шахматной доске

Задача 20.Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так,


8 ладей так,
чтобы они не могли взять
друг

друга?

Слайд 186 Р8= 8!=1· 2· 3· 4· 5·

Р8= 8!=1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8 =

6· 7· 8 = 40320

Ответ: 40320.

Слайд 187 Задача 21.Сколькими способами
можно разместить 12 человек
за

Задача 21.Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?

столом,
возле которого поставлены
12 стульев?

Слайд 188 Р12 = 12! = 479001600

Ответ: 479001600.

Р12 = 12! = 479001600 Ответ: 479001600.

Слайд 189 Задача 22.Сколькими способами
7 книг разных авторов
можно

Задача 22.Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

расставить на полке
в один ряд?

Слайд 190 Р7 = 7! = 5040

Ответ: 5040.

Р7 = 7! = 5040 Ответ: 5040.

Слайд 191 Задача 23.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти

Задача 23.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при

цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна
из них

не повторяется?

Слайд 192

Решение.
Т.к. двузначные числа отличаются друг от друга
или самими цифрами, или их порядком,
то искомое количество равно
числу размещений из пяти элементов по два:


А²5 = 5· 4 = 20


Ответ: 20.

Слайд 193 Задача 24.У нас есть 9 книг
из серии

Задача 24.У нас есть 9 книг из серии «Занимательная математика». Сколькими


«Занимательная математика».
Сколькими способами можно подарить 3 из них?

Слайд 194 Решение.

Решение. 3 А9 = 9! =

3
А9 = 9! =

504
(9-3)!


Ответ: 504.

Слайд 195 Задача 25.Сколько существует вариантов
распределения трех призовых мест,
если

Задача 25.Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест,если в розыгрыше участвуют7 команд?

в розыгрыше участвуют
7 команд?

Слайд 196 А³7 = 7 ·6 ·5 = 210

А³7 = 7 ·6 ·5 = 210 Ответ: 210.

Ответ: 210.

Слайд 197 Задача 26.Сколько вариантов расписания
можно составить на один день,
если

Задача 26.Сколько вариантов расписанияможно составить на один день,если всего имеется 8

всего имеется
8 учебных предметов,
а в расписании на

день
могут быть включены
только три из них?

8

Слайд 198 А³8 = 8 ·7· 6

А³8 = 8 ·7· 6 = 336 Ответ: 336.

= 336

Ответ: 336.

Слайд 199 Задача 27.Сколько вариантов распределения
трех путевок в санатории

Задача 27.Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно


различного профиля
можно составить
для пяти претендентов?


Слайд 200 А³5 = 5 ·4 ·3 = 60

А³5 = 5 ·4 ·3 = 60 Ответ: 60.

Ответ: 60.

Слайд 201 Задача 28.В городе проводится
первенство по футболу.
Сколько

Задача 28.В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?

в нем состоится матчей,
если участвуют
12 команд?

Слайд 202 А²12 = 12· 11 = 132

А²12 = 12· 11 = 132 Ответ: 132.

Ответ: 132.

Слайд 203 Задача 29.Сколько
различных музыкальных фраз
можно составить
из 6

Задача 29.Сколько различных музыкальных фразможно составить из 6 нот,если не допускать в одной фразеповторения звуков?

нот,
если не допускать в одной фразе
повторения звуков?

Слайд 204

Музыкальные фразы отличаются одна от

Музыкальные фразы отличаются
одна от

другой или нотами, или их порядком.
Считаем, что фортепиано имеет 88 клавиш.
6
А88 = 88! = 390190489920
(88-6)!
Ответ: 390190489920.

Слайд 205 Задача 30.Сколько сигналов можно подать
5 различными флажками,
поднимая их

Задача 30.Сколько сигналов можно подать5 различными флажками,поднимая их в любом количествеи в произвольном порядке?

в любом количестве
и в произвольном порядке?

Слайд 206 1

1 2 3 4

2 3

4 5
А5+А5+А5+А5+А5= 5! + 5! + 5! + 5! + 5! = 325
(5-1)! (5-2)! (5-3)! (5-4)! (5-5)!

Ответ: 325.

Слайд 207 Задача 31.В тренировках участвовали
12 баскетболистов.
Сколько различных стартовых

Задача 31.В тренировках участвовали 12 баскетболистов.Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?

пятерок
может образовать тренер?

Слайд 208 5
С12 = 12!

5С12 = 12! = 7!·8·9·10·11·12 = 792

= 7!·8·9·10·11·12 = 792

(12-5)!·5! 7!·1·2·3·4·5

Ответ: 792.

Слайд 209 Задача 32.Сколькими способами
можно заполнить
лотерейный билет
«5 из

Задача 32.Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет«5 из 36»?

36»?

Слайд 210 5
С36 = 36!

5 С36 = 36! = 31!·32·33·34·35·36 = 376992

= 31!·32·33·34·35·36 = 376992

(36-5)!5! 31!·1·2·3·4·5

Ответ: 376992.

Слайд 211 Задача 33.Сколькими способами читатель
может выбрать
2 книжки

Задача 33.Сколькими способами читатель может выбрать 2 книжки из 6 имеющихся?

из 6 имеющихся?

Слайд 212 2
С6 = 6! = 5·6

2С6 = 6! = 5·6 = 15 4!2! 2 Ответ:15.

= 15
4!2! 2

Ответ:15.


Слайд 213 Задача 34.Сколькими способами можно
составить дозор
из трех солдат

Задача 34.Сколькими способами можносоставить дозор из трех солдат и одного офицера,

и одного офицера, если имеется
80 солдат и 3

офицера?

Слайд 214 3

3 1 С80 · С3 =

1
С80 · С3 = 80!

· 3! = 77!·78·79·80·3! = 246480
(80-3)!3! (3-1)!1! 77!·3!·2!

Ответ: 246480.

Слайд 215 Задача 35.Сколькими способами можно
выбрать двух человек в президиум,
если

Задача 35.Сколькими способами можновыбрать двух человек в президиум,если на собрании присутствует78 человек?

на собрании присутствует
78 человек?

Слайд 216

2 С78 = 78!

2
С78 =

78! = 76!·77·78 = 3003
(78-2)!·2! 76!·1·2



Ответ: 3003.

Слайд 217 Задача 36.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр

Задача 36.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

1,2,3,4,5?

Слайд 218

Решение.
Т.к. порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться,
то будут размещения с повторениями из 5 элементов по 3,
а их число равно
~3 3
А5 = 5 = 125

Ответ: 125.

Слайд 219 Задача 37. В кондитерском магазине продают 4 сорта

Задача 37. В кондитерском магазине продают 4 сорта пирожных: эклеры, песочные,

пирожных: эклеры, песочные, бисквитные и слоеные.
Сколькими способами можно

купить
7 пирожных?

Слайд 220 Решение.
Покупка не зависит от того, в каком порядке

Решение.Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают пирожные в

укладывают пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они

отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.

~7
С4 = (7+4-1)! = 10! = 120
7!(4-1)! 7!3!

Ответ: 120.

Слайд 221 Задача 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова

Задача 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

«ананас»?

Слайд 222 Решение.
Всего 6 букв. Одинаковые буквы
n«а» = 3, n«н»

Решение.Всего 6 букв. Одинаковые буквыn«а» = 3, n«н» = 2, n«с»

= 2, n«с» = 1.

Р6(3,2,1) = 6!

= 60
3!2!1!

Ответ: 60.


Слайд 223 Задача 39. Семь девушек водят хоровод.
Сколькими способами

Задача 39. Семь девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?

они могут встать в круг?

Слайд 224 Решение.
Если бы девушки стояли на месте, то их

Решение.Если бы девушки стояли на месте, то их было быР7 =

было бы
Р7 = 7! = 5040.
Но т.к. танцующие кружатся,

то их положение относительно окружающих не имеет роли,
важно лишь взаимное расположение, т.е.перестановки, переходящие друг в друга.
Но из каждой перестановки можно получить еще 6 путем вращения - 7 мест
5040 : 7=720 различных перестановок девушек в хороводе.
Р(вр.7) = (7-1)! = 720

Ответ: 720.

Слайд 225 Задача 40.Сколко ожерелий
можно составить
из 7 бусинок?

Задача 40.Сколко ожерелий можно составить из 7 бусинок?

Слайд 226

Решение.
Ожерелье можно не только вращать, но и перевернуть.

Р(вр.и пов.) = (n-1)!
2

Р7 = (7-1)! = 6! = 720 = 360
2 2 2

Ответ: 360.

Слайд 227 Задача 41.На сувениры в «Поле Чудес»
спонсоры предлагают кофеварки,

Задача 41.На сувениры в «Поле Чудес»спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты,

утюги, телефонные аппараты, духи.
Сколькими способами
9 участников игры могут

получить
эти сувениры?
Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов
для участников игры?

Слайд 228 ~ 9

~ 9 9 1) А4 =

9
1) А4 =

4 = 262144
~9
2) С4 = (9+4-1)! = 12! = 220
9!(4-1)! 9!3!

Ответ: 262144; 220.

Слайд 229 Задача 42.Сколько перестановок
можно сделать из букв
слова

Задача 42.Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?


«Миссисипи»?

Слайд 230 Всего букв в слове 9. Одинаковые буквы

Всего букв в слове 9. Одинаковые буквы n«м»=1,

n«м»=1, n«и»=4, n«с»=3, n«п»=1

Р9(1,4,3,1) = 9! = 2520
1!4!3!1!

Ответ: 2520.

Слайд 231 Задача 43.В книжный магазин поступили
романы Ф.Купера
«Прерия», «Зверобой», «Шпион»,
«Пионеры»,

Задача 43.В книжный магазин поступилироманы Ф.Купера«Прерия», «Зверобой», «Шпион»,«Пионеры», «Следопыт» по одинаковой

«Следопыт»
по одинаковой цене.
Сколькими способами
библиотека
может закупить 17 книг
на

выбранный чек?

Слайд 232 ~17
С5 = (17+5-1)! = 21! = 5985

~17С5 = (17+5-1)! = 21! = 5985 17!(5-1)!

17!(5-1)! 17!4!



Ответ: 5985.

Слайд 233 Задача 44.Номер автомашины состоит из трех букв русского

Задача 44.Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита и трех цифр.Сколько различных номеров автомашинможно составить?

алфавита
и трех цифр.
Сколько различных номеров
автомашин
можно составить?

Слайд 234

~ 3 ~3

~ 3 ~3

3 3
А33· А10 = 33·10 = 35937000

Ответ: 35937000.
  • Имя файла: ochen-mnogo-zadachek-po-teorii-veroyatnostey.pptx
  • Количество просмотров: 292
  • Количество скачиваний: 1
- Предыдущая Презентация по английскому языку в качестве национально-регионального компонента Номто Очирович Очиров
Следующая - Наша Родина - Россия Презентация на знание государственной символики.

Похожие презентации

Презентация по математике на тему Множества (2 курс) Презентация по математике на тему Множества (2 курс) 162
ГИА – 2013 г.Модуль Алгебра. № 6 ГИА – 2013 г.Модуль Алгебра. № 6 179
Решение систем неравенств Решение систем неравенств 233
Факториал Факториал 175
Презентация по математике на тему Принцесса науки - Софья Ковалевская Презентация по математике на тему Принцесса науки - Софья Ковалевская 279
Высшая математика Пределы. Вычисления пределов Высшая математика Пределы. Вычисления пределов 155
Презентация к уроку алгебры в 7 классе по теме Статистические характеристики Презентация к уроку алгебры в 7 классе по теме Статистические характеристики 185
Презентация по алгебре по теме Функция y=ax^2, её свойства и график Презентация по алгебре по теме Функция y=ax^2, её свойства и график 188
Презентация к уроку по алгебре 7 класс. Тема: Прямая пропорциональность. Презентация к уроку по алгебре 7 класс. Тема: Прямая пропорциональность. 151
Логарифмы и их свойства Логарифмы и их свойства 182
Преобразование графиковфункций Преобразование графиковфункций 175
Применение производной функции Применение производной функции 147
Мәтінді есептерді квадрат теңдеу арқылы шығару 8-сынып алгебра Мәтінді есептерді квадрат теңдеу арқылы шығару 8-сынып алгебра 387
Статистика глазами учеников 9-ых классов Статистика глазами учеников 9-ых классов 143
ряды фурье ряды фурье 172
Презентация по математике на тему ЕГЭ Задача № 19-теория чисел часть 3 (11 класс) Презентация по математике на тему ЕГЭ Задача № 19-теория чисел часть 3 (11 класс) 194
Производные тригонометрических функций (10 класс) Производные тригонометрических функций (10 класс) 172
Логические высказывания Логические высказывания 237
Презентация по математике на тему Преобразование целого выражения в многочлен Презентация по математике на тему Преобразование целого выражения в многочлен 151
Степенная функция (11 класс) Степенная функция (11 класс) 176
Презентация по математике на тему Оригами и математика Презентация по математике на тему Оригами и математика 68
Презентация к уроку математики 7 кл Презентация к уроку математики 7 кл 169
Презентация Использование статистических методов при изучении отношения учащихся к школьным предметам исследовательская работа Презентация Использование статистических методов при изучении отношения учащихся к школьным предметам исследовательская работа 195
Конкурс Мой лучший урок математики Конкурс Мой лучший урок математики 235
Презентация к проекту по математике Зодиакальные созвездия на координатной плоскости 7 класс Презентация к проекту по математике Зодиакальные созвездия на координатной плоскости 7 класс 136
Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения 169
Презентация при подготовке к ЕГЭ математика профиль Первообразная в заданиях 7 и 12 Презентация при подготовке к ЕГЭ математика профиль Первообразная в заданиях 7 и 12 211
Презентация к уроку по теме Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений (движение по реке) Презентация к уроку по теме Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений (движение по реке) 152
Презентация к учебному занятию на тему Координаты вектора Презентация к учебному занятию на тему Координаты вектора 136
Урок Множества Урок Множества 169