Слайд 2
ЧТО ТАКОЕ МНОГОЧЛЕН?
Многочленом с переменной х (или от
переменной х), называют сумму степеней переменной х с натуральным
показателем, с некоторыми коэффициентами, то есть:
P(x) =a0xп+a1xп-1+…+aп-1x+aп, где а0, а1, …, ап-1, ап – некоторые числа, причем а0≠0, n – натуральное число. Рп(х) – обозначение многочлена степень которого равна п.
Слайд 3
Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х)≠0, если Р(х)=Q(x)∙M(x),
где М(х) – некоторый многочлен.
Слайд 4
Свойства делимости многочленов «столбиком»:
Слайд 5
1 свойство:
Если многочлен Pn(x) делится на многочлен Qk(x),
а многочлен Qk(x) делится на многочлен Mm(x), то многочлен
Pn(x) делится на многочлен Mm(x).
Слайд 6
2 свойство:
Если многочлены Рn(х) и Qn(x) делятся на
многочлен Mk (x), то многочлены Рn(х)+Qn(x) и
Рn(х)-Qn(x) делятся
на многочлен Mk(x), а многочлен Рn(х)· Qn(x) делится на многочлен M2k(x).
Слайд 7
3 свойство:
Если P(x) делится на Q(x), то всякий
корень Q(x) является корнем P(x). Действительно если P(x)= Q(x)·M(x)
и Q(с)=0, то P(с)=Q(с) M(с)=0.
Слайд 8
Алгоритм деления многочленов «столбиком»
Расположить делимое и делитель в
убывающих степенях х;
Разделить старший член делимого на старший член
делителя; затем полученный одночлен сделать первым членом частного;
Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная в результате разница является первым остатком;
Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.
Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю или остаток, степень которого меньше степени делителя.
Слайд 9
Разделить уголком многочлен
P(x)=10х2-7х-12 на
многочлен Q(x)=5х+4.
Решение.
делимое _ 10х2-7х-12 5х+4 делитель
10х2+8х 2х-3 частное
первый остаток _-15х-12
-15х-12
0 остаток
Ответ: 2х-3.
Слайд 10
Разделить многочлен P(x)=3х4+2х2-1 на многочлен Q(x)=х2+х.
Решение.
_3х4
+2х2-1 х2+х
3х4+3х2 3х2-3х+5
_-3х3+2х2-1
-3х3 -3х2
_5х2- 1
5х2+5х
- 5х-1
Ответ: частное 3х2-3х+5, остаток- 5х-1.
2п2 -11п+13
При каких натуральных значениях п выражение
п-3
является целым числом?
Решение.
Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:
_2п2-11п+13 п-3
2п2-6п 2п-5
_-5п+13
-5п+15
-2
2
Таким образом, исходное выражение равно 2п-5- , что
п-3
является целым числом тогда и только тогда, когда 2
нацело делится на п-3 . поскольку целыми делителями
числа 2 являются числа -2,
-1, 1, 2 и только они, получаем п=1, 2, 4, 5.
Ответ: п=1, 2, 4, 5.
Слайд 12
Степень частного равна разности степеней делимого и делителя,
а степень остатка всегда меньше степени делителя.
Слайд 13
Алгоритм вычислений по схеме Горнера:
Слайд 14
1 шаг. Под первым коэффициентом делимого а0 пишется
ещё раз этот коэффициент.
2 шаг. Под коэффициентом а1
пишется число b1=a0b+a1.
Слайд 15
3 шаг. Под коэффициентом а2 пишется число b2=
b1b+а2.
4 шаг. Под коэффициентом а3 пишется число b3= b2b+а3;
b3=R – остаток.
Слайд 16
Для любого многочлена
Р(х)=а0хп+а1хп-1+…+ап-1х+ап и любого числа с
можно написать разложение Р(х) по степеням разности х-с:
Р(х)= b0(x-c)п+b1(x-c)п-1+…+bп-1(x-
-c)+bп.
Слайд 17
Разложить многочлен Р(х)=х4-5х3-3х2+9 по степеням разности х-3.
Решение.
Выполним деление по схеме Горнера:
Таким образом,
Р(х)=(х-3)4+7(х-3)3+6(х-3)2-45(х-3)-72.
Слайд 19
Определение.
Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а
равен значению этого многочлена при х=а: Р(а)=R.
Слайд 20
Следствие №1. Если х=а – корень уравнения Рп(х)=0,
то R=0 и многочлен Рп(х) делится нацело на двучлен
х-а.
Следствие №2. Если многочлен Рп(х) делится нацело на двучлен х-а, то х=а – корень уравнения Рп(х)=0.
Слайд 21
Задача
Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х)=х100+3х79+х48-х27 на х+1.
Решение.
Остаток от деления Р(х) на х+1 равен
Р(-1)=(-1)100+3·(-1)79+(-1)48-(-1)27 =1-3+1+1=0.
Ответ: многочлен Р(х) нацело делится на х+1
