Презентация на тему Дифференциал функции нескольких переменных

переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде
,
где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем
-расстояние между М(х,у) и

Δy часть полного приращения функции

называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, .

дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В .
Таким образом,
.
Если положить ,то

z=f(x,y) называется

Вообще:
Если х и

у независимые переменные, то .

в некоторой окрестности точки М(х,у)имеет частные производные , и ,которые непрерывны в самой точке М. Тогда функция дифференцируема в этой точке.

некоторой точке непрерывные частные производные, называется непрерывно дифференцируемой в

этой точке.

в точке

функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от , выполнено неравенство

Аналогично определяется минимум функции.
Минимум и максимум функции называются ее экстремумами.

.

В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная

производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные

производные второго порядка в некоторой окрестности точки , в которой . Если при этом в этой точке выполнено условие , то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если , и точкой минимума, если
.
Если же в этой точке , то экстремума в точке нет.
В том случае, если в точке , теорема ответа не дает.

или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным

экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и

наименьшего значений.
Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В

этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е.

u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.
Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским.
Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

. Линии

уровня этой поверхности имеют вид

скалярного поля u=u(x,y,z) .
Производной этой функции по направлению l

называется

вычисляют по формуле


где cosα, cosβ , cosγ-направляющие

косинусы вектора .
Для плоского скалярного поля

где u=u(x,y,z)-дифференцируемая функция, называется вектор с координатами

.

Таким образом,

или .

u=

в точке M(6,2,3).
Решение. Вычислим градиент функции.





Тогда grad u = + +

равна проекции градиента этой функции на данное направление (в

соответствующей точке).

представляет собой скорость изменения функции в данном

направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то
градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции. .

плоского скалярного поля ,т.е.

| grad u | =
обозначается tgϕ и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения

поля в этой точке, т. е.
,

где .