Презентация на тему Комплексные числа

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная

и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

чисел

А·Х +

В=0 (А≠0) – разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа

Х+5=2

=0
При D

число, такое , что
i²=-1



А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

В ОБЩЕМ ВИДЕ

, такой, что i²= -1
А – действительная часть
В

– мнимая часть
i – мнимая единица

А + В· i

В· i
(Z) = Z
Комплексно сопряженные числа.
Z = A +

B i=

комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ

=
= r (cos φ+ i sin φ)

Для Z=0 аргумент не определяется

В· i=

cosφ+i sinφ

(C+iD)=
(A+C)+(B+D)I


Произведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2=

r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]

Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i

i sin φ)]²=
r² (cos2 φ+ i

sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

числа ω (обозначается ), если

(*)
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.

Z= r (cos φ+ i sin φ)

ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)

Вторая формула Муавра

степени n
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве

комплексных чисел ровно n-корней.

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Z2 = Z1 +Z2
Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Z1

·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Вычитание – операция, обратная сложению:
Z+ Z2 +(- Z2 )=

Z1 +(- Z2 )

Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим: