Презентация на тему Непрерывность функций

называется непрерывной в точке

, если
1)она определена в этой точке,
2) существует и
3)

равносильно тому,
что существуют

равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке, то есть

на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке

этого множества.
Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то говорят, что она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

терминах. Обозначим

и назовем его приращением аргумента в точке ,

будем называть приращением функции в точке .

и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует

бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть если

заданные на одном и том же множестве Х функции

и непрерывны в точке . Тогда функции
, ,

непрерывны в точке ,если знаменатель не равен нулю в этой точке:
.

сложной функции). Пусть функция

непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке .

элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и

начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,

является элементарной.
Все элементарные функции непрерывны в области определения

функций. Возможны следующие случаи.
1.Если

существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину называют скачком функции в точке .

функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где

происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Таким образом, в точке 0 функция претерпевает разрыв 1-го

рода со скачком 1.

разрыв 1-го рода в начале координат.

, но в точке функция либо не определена, либо , то эта точка является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив
,
то получится непрерывная в точке функция.

являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва,

является точкой разрыва второго рода.
Очевидно, что точки разрыва второго рода - это точки, в которых функция стремится к бесконечности. Например, в точке х=1 имеет разрыв 2-го рода.

. Как элементарная функция она всюду непрерывна,

кроме точки х=1.
,


Имеем разрыв 2-го рода с бесконечным скачком.

Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция

определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т. е.
Тогда существует точка
такая, что

Из рисунка видно, что функция имеет три нуля,

то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция определена и

непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число между числами , найдется точка такая, что
.

1 Вейерштрасса.
Если функция

определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .