Презентация на тему Основы теории вероятностей

различные закономерности, которым подчинены
случайные события и случайные величины.
Событием

является любой факт,
который можно констатировать
в результате наблюдения или опыта.

Наблюдением или опытом называют
реализацию определенных условий,
в которых событие может состояться.

наблюдают
или сами создают их, делятся на:
достоверные
(в результате опыта

происходят всегда),
невозможные
(в результате опыта никогда не произойдут),
и случайные
(в результате опыта событие
может произойти или не произойти).

Теория вероятностей рассматривает
именно случайные события.

в результате одного испытания может
наступить одно из этих

событий, но невозможно
наступление двух или более событий.

Если наступление одного случайного
события не исключает наступление другого
события, то такие события называют
совместными.

произойти одно и только одно из
несовместных случайных событий,

то эти события составляют
полное множество (систему) событий.

Сумма вероятностей событий, образующих
полную систему, равна 1.

В случае, когда полную систему образуют
только два события, они называются
противоположными.

В
называют сложное событие, состоящее
в появлении хотя бы одного из

событий А и В.

Произведением (пересечением) событий А и В
называется их совместное появление.

Если наступление одного события не влияет
на возможность появления другого, то такие
события называются независимыми.

отношение числа благоприятных этому
событию возможностей m к числу

всех
равновозможных несовместных событий n,
которые могут произойти в результате
одного испытания или наблюдения, т.е.

 

Вероятность суммы несовместных
событий равна сумме их вероятностей.
Вероятность

суммы произвольных событий
равна сумме их вероятностей за вычетом
вероятности произведения этих событий.

года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше

двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

ОТВЕТ: 0,09

продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в

автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

А и В равна
произведению их вероятностей.
Теорема умножения для

независимых событий

Основные правила вычисления вероятностей сложных событий

белыми,
то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,52.

Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт

игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

События равновероятны, независимы и
должны произойти «одновременно», следовательно

ОТВЕТ: 0,125

Решение.

промахнулись равна
Значит вероятность хотя бы одного попадания в

цель
p=1-0,03=0,97

ОТВЕТ: 0,97

Решение.

ЗАДАЧА 8. Три стрелка стреляют в цель
независимо друг от друга. Первый стрелок
попадает в цель с вероятностью 0,6, второй –
с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью
0,75. Найдите вероятность хотя бы одного
попадания в цель, если каждый стрелок сделает
по одному выстрелу.

На каждой развилке он наудачу

выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Пенсионер начинает прогулку в точке А. Найдите вероятность того, что он придет в точку F.

Решение.

Вероятность попадания из точки A
в точку B равна 0,5; вероятность
попадания из точки В в точку F равна 0,25.
p(A)*p(В)=1/2*1/4=1/8=0,125

ОТВЕТ: 0,125

вычисления вероятностей сложных событий
Вероятность совместного появления двух
событий равна

произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило:

P (AB) = P (A)*PA(B)

Условной вероятностью PA(B) называют вероятность
события В, вычисленную в предположении, что событие А
уже наступило.

на отдельные буквы, из них
произвольным образом отбираются и
выкладываются

по порядку четыре буквы.
Какова вероятность получения слова "МАМА"?

Вероятность события, что первой будет выбрана
буква М равна 0,2; вероятность того, что далее
будет выбрана буква А составляет 3/9=1/3. Следующая
вероятность выбора буквы М равна 0,125, и, наконец,
что последней будет выбрана буква А составляет 2/7.
В итоге получаем, что вероятность получения
слова «МАМА» равна p=0,2*1/3*0,125*2/7=1/420

лишь при условии появления одного
из несовместных событий (гипотез) B1,

B2,…, Bn,
образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих
событий на соответствующую условную
вероятность события A:

стене с вероятностью 0,8, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если

Джон стреляет из
не пристрелянного револьвера, то он попадает
в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит
10 револьверов, из них только 2 пристрелянные.
Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу
хватает первый попавшийся револьвер
и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат

анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

ОТВЕТ: 0,0545

Решение.

бросаниях игрального кубика
«пятерка» выпадет ровно 2 раза?
Ответ округлите до

сотых.

с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что при пяти выстрелах он

хотя бы раз попадет в мишень.

Решение.
Обозначим
р(А)=р=0,1; q=1-0,1=0,9
Вероятность того, что стрелок не попадет ни разу, т.е. совершит 5 промахов вычисляется по формуле
Тогда вероятность хотя бы одного попадания будет равна

ОТВЕТ: 0,40951

они поступают в продажу. Дефектных тарелок 0,1X, из них

в продажу поступает 0,2·0,1X=0,02X. Всего в продажу поступило 0,9X+0,02X=0,92X тарелок. Вероятность купить тарелку без дефектов равна 0,9X/0,92X=45/46≈0,98.

ОТВЕТ: 0,98

Решение.

ЗАДАЧА 15. На фабрике керамической посуды
10% произведённых тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80%
дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают
в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых.

домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца

высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства

ОТВЕТ: 0,75

Решение.

1 способ.