Презентация на тему Геометрические фигуры в пространстве (объемные тела)

тела и поверхности. Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида, формулы для

вычисления их объемов. Тела и поверхности вращения: ци­линдр, конус, сфера, шар, формулы для вычисления их площа­дей поверхностей и объемов.
Основная цель — дать начальное представление о телах и поверхностях в пространстве: познакомить учащихся с основ­ными формулами для вычисления площадей поверхностей и объ­емов тел.
Рассмотрение простейших многогранников (призмы, парал­лелепипеда, пирамиды), а также тел и поверхностей вращения (цилиндра, конуса, сферы, шара) проводится на основе нагляд­ных представлений, без привлечения аксиом стереометрии. Формулы для вычисления объемов указанных тел выводятся на основе принципа Кавальери, формулы для вычисления площа­дей боковых поверхностей цилиндра и конуса получаются с по­мощью разверток этих поверхностей, формула площади сферы приводится без обоснования.

сведения из стереометрии
ЗНАТЬ: что такое многогранник, его грани,

ребра, вершины, диагонали.
Какой многогранник называется выпуклы.
Что такое n-угольная призма, ее основания, боковые грани и боковые ребра.
Какая призма называется прямой, и какая наклонной, что такое высота призмы, какая призма называется параллелепипедом и какой параллелепипед называется прямоугольным.
утверждения о свойстве диагоналей параллелепипеда и квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.
объем многогранника.
.Какой многогранник называется пирамидой, что такое основание, вершина, боковые грани, боковые ребра, и высота пирамиды.
Какая пирамида называется правильной, что такое апофема правильной пирамиды.
Знать формулу объема пирамиды.
какое тело называется цилиндром.
Знать, что такое его ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие, развертка боковой поверхности.
формулами объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
какое тело называется конусом
формулами объем и площадь боковой поверхности конуса
, какая поверхность называется сферой и какое тело называется шаром.
Что такое радиус и диаметр сферы(шара).

УМЕТЬ: Выводить( с помощью принципа Кавальери) формулу объема прямоугольного параллелепипедаКакими формулами выражаются объем шара и площадь сферы.
Изображать и распознавать на рисунках призму, параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус, шар.

№ 39
Образовательная область «МАТЕМАТИКА»
Предмет «МАТЕМАТИКА»

общеобразоват. организаций /[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.

А. Глазков и др.]. — М. : Просвещение, 2015. Г Л А В А ХIV Начальные сведения из стереометрии (2 ч)

При наличии времени учитель может ознакомить учащихся с некоторыми пространственными фигурами — многогранниками, а также телами и поверхностями вращения, построив свой рассказ в виде лекции по материалам главы XIV. Можно предложить наиболее сильным учащимся самим разобрать решение задачи 1188 на построение сечения параллелепипеда и решить аналогичные задачи 1189—1192.
При необходимости отведённые на знакомство с элементами стереометрии 2 урока можно использовать как дополнительные уроки повторения и подготовки к ГИА.

познакомить учащихся с основ­ными видами многогранников (призма, пирамида, усечен­ная

пирамида), с формулой Эйлера для выпуклых много­гранников, с правильными многогранниками и элементами их симметрии.
С двумя видами многогранников — тетраэдром и парал­лелепипедом — учащиеся уже знакомы. Теперь эти пред­ставления расширяются. Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и ограни­чивающая некоторое геометрическое тело (его тоже назы­вают многогранником). В связи с этим уточняется само по­нятие геометрического тела, для чего вводится еще ряд новых понятий (граничная точка фигуры, внутренняя точ­ка и т. д.). Усвоение их не является обязательным для всех учащихся, можно ограничиться наглядным представлени­ем о многогранниках.

направлено на решение следующих задач:
Сформировать представление о геометрических телах

и их поверхностях, об изображении пространственных фигур на чертеже;
Изучить свойства прямоугольного параллелепипеда;
Сформировать представления об основных видах многогранников.
 

образом:

часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур,

целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.
Это слово στερεομετρία  происходит от древнегреческих слов «stereos» — объёмный, пространственный и «metria» — измерение. Простейшие фигуры стереометрии — точки, прямые и плоскости. Из этих фигур образованы геометрические тела и их поверхности. Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости
 
Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.
 
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

по одну сторону от плоскости каждой своей грани
. На

рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

 
На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника EDC  ,
то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть по другую сторону этой плоскости.
 

многогранник, составленный из двух равных n  -угольников, лежащих в параллельных

плоскостях, и n  -параллелограммов, которые образовались при соединении вершин n  -угольников отрезками
параллельных прямых.
Равные n  -угольники называют основаниями призмы.
 
Стороны многоугольников называют рёбрами оснований.
 
Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
 
Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.
 
Призмы бывают прямыми и наклонными.
 
Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют правильной.
 
У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
 
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.
 

 
На рисунке наклонная четырёхугольная призма,
в которой проведена высота B 1 E  .

высотой призмы.
 

 
На рисунке прямая треугольная призма. Все боковые грани

— прямоугольники, любое боковое ребро
можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

 
На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной
четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом.

основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед
—

прямоугольный.
  

 
На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной
называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
 
Например, AB  , AD   и AA 1    можно называть измерениями.
 
Так как треугольники ABC   и ACC 1    — прямоугольные, то, следовательно,
квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его измерений: AC 1  2 =AB 2 +AD 2 +AA 1  2  

поверхность S бок. =P осн. ⋅H  , где H   — высота призмы. Для наклонных

призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
 
2. Полная поверхность S полн. =2⋅S осн. +S бок.   . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
 
3. Объём V=S осн. ⋅H  . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, то его называют
диагональным сечением призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками.
Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
 

 
На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разные
диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

в основании и n  -треугольников
, которые образовались при соединении точки вершины

пирамиды со всеми вершинами многоугольника
основания.n  -угольник называют основанием пирамиды.
Треугольники — боковые грани пирамиды.
Общая вершина треугольников — вершина пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины — боковые ребра пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

 
На рисунке шестиугольная пирамида GABCDEF  , проведена высота пирамиды GH  .
 
Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник и высота соединяет вершину пирамиды с центром
правильного многоугольника, называют правильной.
 
У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих
треугольников, то они также будут равны.
 
Высоту боковой грани правильной пирамиды называют апофемой.
 

 
На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

проведена от вершины K  к центру основания  .
Высота боковой

грани KN   — апофема.
Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием),
то такую пирамиду называют правильным тетраэдром:
ΔABC=ΔABD=ΔACD=ΔBCDп 

 
Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно
провести диагональное сечение.
 

поверхность S бок. =P осн. ⋅h2   , где h   — апофема. Для пирамид,

которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.
 
2. Полная поверхность S полн. =S осн. +S бок.   . Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.
 
3. Объём V=13 ⋅S осн. ⋅H  , где H   — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

одной из его сторон OO1
 или прямоугольника AA1B1B вокруг прямой OO1, которая проходит через

серединные точки противолежащих сторон.
 
Прямая OO1 называется осью цилиндра, AA1 и BB1 — образующими.
 
Высота H цилиндра совпадает с любым из отрезков OO1=AA1=BB1.
 
Два круга, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра.
 
Радиусом R=OA=OB цилиндра называется радиус его основания. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.
Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник, на данном рисунке — прямоугольникAA1B1B.

кругового цилиндра равна произведению длины окружности
основания на высоту: Sбок.=2πRH
 
Полная

поверхность цилиндра вычисляется по формуле: S=Sбок.+2Sосн.=2πRH+2πR2
 
Для объёма прямого кругового цилиндра верно: V=πR2H

катетов PO 
или равнобедренного треугольника APB вокруг прямой PO, проходящей через
вершину P и середину O
 основания треугольника.
 

Осью прямого кругового конуса называется прямая PO, содержащая его высоту H.
Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой
равнобедренный треугольник,
у которого боковые стороны PA и PB являются образующими l конуса.
 
Радиус конуса R=OA=OB — это радиус основания.

собой круговой сектор:
 







Радиус этого

сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr.
 
Площадь боковой поверхности конуса определяется как площадь данного кругового сектора:
Sбок.=πl2⋅α°360°
 
Если рассмотреть длину окружности основания конуса как длину дуги кругового сектора, получаем:
2πR=2πl⋅α°360°2πR=πl⋅α°180°α°=2πR⋅180°πl=R⋅360°lSбок.=πl2⋅α°360°=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl
 
Sбок.=πRl — ещё одна формула для определения боковой поверхности конуса.
 
Полная поверхность конуса:
S=Sбок.+Sосн.=πRl+πR2
 
Объём конуса находим по формуле:
V=13πR2H

полукруга или круга вокруг его диаметра AB как оси.

 
Граница шара

называется шаровой поверхностью или сферой.
 
Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра O на расстояние, равное радиусу R.
  
Любой отрезок, как OA, OB и OC или другие, соединяющие центр шара с точкой шаровой поверхности,
также называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром,
как AB на рисунке. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр,
называется большим кругом, а сечение сферы —
 большой окружностью.
Поверхность сферы:
S=4πR2
 
Объём шара:
V=43πR3

фигур в пространстве.
«стерео» - объёмный,пространственный;
«метрео» - измерять

числа многоугольников.

сторону от плоскости каждой его грани.

от плоскости одной из его граней.

все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в

развертке 180°. Если склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.

в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Октаэдр-восьмигранник,

тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

развертку вершины икосаэдра.
Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками

углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не

может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается

вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше

360° - поэтому останавливаемся.
Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными пятиугольниками

3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не

существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с

квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12

этими телами формы атомов основных стихий природы.

  додекаэдр
стихии

то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны,

а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника

или тела Кеплера - Пуансо.
Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности.  

Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц.

маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии.

Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня

была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

(1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на

переднем плане изобразил додекаэдр.
 

Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма

некоторых кристаллов.

Кристалл сульфата меди II

Кристалл алюмокалиевых
квасцов

Кристалл сульфата никеля II

шестиугольные соты
задолго до появления человека.

сказали на уроке.
№ 1184, 1186.