Презентация на тему Сечения многогранников и тел вращения

аксиомы геометрии
Сечения многогранников
Тела вращения и их сечения
Об авторе
Список используемой

и рекомендуемой литературы

и технических задач.
“Раньше говорили: язык инженера – чертеж. Язык нынешнего

инженера – сочетание математики и чертежа. Для него чертеж – способ перехода от теоретических выводов к схемам и конструкциям. А источник теоретических выводов – исследование физики явлений и рабочих процессов аналитическими, математическими или графоаналитическими методами в сочетании с экспериментами и исследованиями”1.
При решении всякой технической задачи приходиться производить различного рода расчеты. Они обычно заключаются в целом ряде сложных и утомительных математических выкладок и вычислений.
Так как основная задача техники – добиваться наивыгоднейшего результата с наименьшей затратой труда, времени и средств, то, естественно, техника выработала особые приемы и способы так называемых “технических графических вычислений”, облегчающих и ускоряющих эти расчеты, иногда в ущерб их математической точности.
Графический метод расчета довольно часто применяется в различных областях техники: при расчетах мостовых пролетов и ферм, пространственных механизмов, конструкций и т.д., вообще там, где можно заменить сложный расчет по формулам более простым графическим.
Следует знать, что графическое решение так же важно, как и аналитическое, что оно в ряде случаев дает более быстрый путь решения. Иногда это единственный путь, а именно при ограниченном круге математических познаний. Графическое решение задачи дает практически достаточно точный ответ на поставленный вопрос.

1 Лазарев Л. Инженеры завтрашнего дня. “Известия” от 13 марта 1963 г.

На главное меню

Тогда их пересечение есть плоская фигура F, которая называется

сечением: F=α⎧⎫φ.

На главное меню

плоскостей)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,

проходит единственная плоскость.

точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой

принадлежат этой плоскости.

плоскости имеют одну общую точку, то их пересечение -

общая прямая

пространства однозначно определено некоторое неотрицательное число ⎢АВ⎟, называемое расстоянием

между ними и обладающее свойствами:

1. Расстояния ⎢АВ⎟ = ⎢ВА⎟.
2. (⎢АВ⎟ = 0) ⇔ (А ≡ В) (точки совпадают).
3. Справедливое неравенство: ⎢АВ⎟ + ⎢ВС⎟ ≥ ⎢АС⎟.

два полупространства.

метод вспомогательных сечений;
∙        Построение сечений, параллельных данной прямой;
∙        Построение

сечений, параллельных данной плоскости;
∙    Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым;
∙        Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости;
∙        Комбинированный метод;
 

сечений;
∙        Построение сечений, параллельных данной прямой;
∙        Построение сечений, параллельных

данной плоскости;
∙      Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым;
∙        Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости;
∙        Комбинированный метод;

Переход к следующему шагу задачи производится при нажатии левой клавиши мыши или Пробела

є A1B1С1, то
QV є A1B1С1. Проведем QV.
QV -

это след плоскости PQR на A1B1C1

Решение:
1. т.к. Q є BCC1, R є BCC1, то
RQ є BCC1. Проведем ее.
Это след плоскости PQR на BCC1.

2. Прямая QR∩BB1=B2, QR∩CC1.
Это следы PQR на прямых BB1 и CC1.

3. т.к. B2 є ABB1 и P є ABB1,
B2P є ABB1. B2P – след плоскости
PQR на ABB1A1.

4. т.к. C2 є AСС1 и P є AСС1, то
С2P є AСС1. Проведем ее. PC2∩A1C1=V.
Это след плоскости PQR на ACC1.

Дано: призма ABCA1B1C1,
P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1.
Построим сечение призмы
плоскостью PQR.

6. Итак, B2QVP – это искомое сечение.

Ответ. Искомое сечение B2QVP.

Q є D1E1, т. R є AA1. Построим сечение

призмы плоскостью PQR.

Решение:
1. Отрезок PR – это след плоскости PQR на грани АВВ1А1.

2.  Примем плоскость АВС за основную. Построим проекции на ABC точек P, Q и R (в направлении, параллельном боковому ребру призмы). Получаем точку P′, R′, Q′.

3. Параллельными прямыми PP′ и QQ′ определяется плоскость β1. Строим сечение призмы плоскостью β1. Это – первое вспомогательное сечение.

4. Параллельными прямыми RR′ и DD′ определяется плоскость β2. Строим сечение призмы плоскостью β2. Это – второе вспомогательное сечение.

5. Строим линию пересечения плоскостей β1 и β2. F=P′Q′⎧⎫AD и точка F1=В1Q⎧⎫А1D1. Это прямая FF1. Строим.

7. Проведем прямую RF2 и находим точку D2=RF2⎧⎫DD1. Так как точка D2 є RF2, то D2 є PQR. D2 – это след плоскости PQR на прямой DD1.

8. Проводим прямую D2Q. Это след плоскости PQR на DEE1. На прямой EE1 получаем т. E2=RF2⎧⎫ЕЕ1. Отрезок QE2 – это след плоскости PQR на грани DЕЕ1D1.

9. Проводим прямую RE2. Отрезок RE2 – это след плоскости PQR на грани АЕЕ1А1.

10. RR′ || СС1. Ими определяется плоскость β3. Строим сечение призмы плоскостью β3. Это – третье вспомогательное сечение.

11. Находим линию пересечения плоскостей β1 и β3. Это прямая КК1, где К=R′С⎧⎫P′Q′ и точка К1=А1С1⎧⎫B1Q. Находим точку К2= PQ⎧⎫КК1. Проводим RК2. С2=RК2⎧⎫СС1.

12. Проводим прямые PC2 и C2D2. Получаем отрезки PC2, C2L и LQ – следы плоскости PQR соответственно на гранях ВСС1В1, CDD1C1 и A1B1C1D1E1.

6. В плоскости β1 проводим прямую PQ. Строим F2=PQ⎧⎫FF1. Так как F2 є PQ, то F2 є PQR. Тогда прямая RF2 є PQR.

13. Итак, совокупность построенных следов плоскости PQR на гранях призмы образует многоугольник PRE2QLC2, который и является искомым сечением.
Ответ. PRE2QLC2 – искомое сечение.

сечение призмы плоскостью α, параллельной плоскости PQR и проходящей

через точку KєBC.

Решение:
1. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

2. Так как α - плоскость заданного сечения проходит через точку K, лежащую в плоскости BCC1, то она пересекает плоскость BCC1 по прямой, проходящей через точку K. И так как плоскость α параллельна плоскости PQR, то следы плоскости α и плоскости PQR на плоскости BCC1 параллельны между собой. Поэтому в плоскости BCC1 через точку K проведем прямую KE ⎜⎜PQ.

3. Проведем в плоскости ABC через точку K прямую KF⎜⎜PR и в плоскости DCC1 через точку F прямую FN ⎜⎜RQ. 

4. Соединим точку E с точкой N. Четырехугольник KENF – искомое сечение.

Ответ. Искомое сечение - KENF.

зададим соответственно т. P и Q. Построим сечение пирамиды

плоскостью α, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, т. Rє MB.

Решение:
1. Плоскость, проходящая через прямую AR и т. Q есть MAB. В плоскости MAB через т. Q проведем прямую QF ⎜⎜AR.

2. Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость α ( PQF) - плоскость искомого сечения.

3. Построим проекции точек F и Q на плоскости ABC (в направлении параллельном ребрам). Это т.F'≡B и т.Q'≡A. Тогда точка S1=FQ⎧⎫F′Q′ лежат на основном следе секущей плоскости α.

4. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости α, то прямая S1P – след плоскости α, а отрезок S2P – след плоскости α на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге четырехугольник PFQS2 – искомое сечение.

Ответ. Искомое сечение PFQS2.

– отрезок). Построим сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через

точку K параллельно прямой PQ и CD.

Решение:
1. В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и найдем точки S1, S2 и S3, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, AD и AB.

2. Пересекающимися прямыми PQ и S1S2 определяется плоскость β - плоскость вспомогательного сечения. Построим это сечение.
Основным следом плоскости β является прямая S1S2. Отрезок PS1– след плоскости β на грани MBC, прямая PS3 – ее след на плоскости MAB, отрезок PA1 – на грани MAB, отрезок A1S2 – на грани MAD.

3. Строим далее сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через точку K параллельно плоскости β. В итоге получаем многоугольник KB1C1D1 – искомое сечение.

Ответ. KB1C1D1 – искомое сечение.

β

и Q – середина AD, а точка RєMC зададим.

Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P,Q и R.

3. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, т.е. эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ – средняя линия треугольника ABD, то PQ⎜⎜BD, т.е. прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, т.е. параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

Решение:
1. Основным следом плоскости PQR является прямая PQ. Найдем точку K, в которой плоскость MAC пересекает прямую PQ. Точки K и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

2. Найдем точку N=AC⎧⎫BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR⎧⎫MN.

4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение.
Ответ. PQD1RB1- искомое сечение.

задачи.
Дано: правильная призмы ABCA1B1C1, AA1=AB, на ребре AC

задана точка P – середина этого ребра. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точку P перпендикулярно прямой BC1.

1. Если через какую-нибудь точку прямой BC1 провести две прямые, перпендикулярные прямой BC1, то этими пересекающимися прямыми определится плоскость, перпендикулярная прямой BC1.Проведем построение.

2. Так как четырехугольник BCC1B1 является квадратом, то B1C ⊥ BC1.Проведя прямую B1C, мы получим первую прямую перпендикулярную прямой BC1.

4. Зная это отношение, построим точку H и проводим прямую PH, которая и является прямой, перпендикулярной BC1. Затем в плоскости BCC1B1 через точку H проведем прямую, параллельную прямой B1C. Пусть эта прямая пересекает прямые BB1 и BC соответственно в точках B2 и S1. Таким образом, прямая B2S1 перпендикулярна прямой BC1. Пересекающимися прямыми PH и B2S1 определяется плоскость β - плоскость искомого сечения.

5. Построим сечение призмы плоскостью β. Получаем последовательно: точку S2= PS1⎧⎫AB, прямую B2S2, точку A2= B2S2⎧⎫AA1 и, наконец, четырехугольник PA2B2S1 – искомое сечение.
Ответ. PA2B2S1 – искомое сечение.

1971.
Приложение к журналу “Квант” № 2/2001, “Такая разная геометрия”.
В,Н.Литвиненко

“Решение типовых задач по геометрии”, изд. “Просвещение”, Москва 1999.
С.А.Фролов “Сборник задач по начертательной геометрии” , изд. “Машиностроение”, Москва 1980.

На главное меню

которая имеет длину и ширину, но не имеет толщины.

Поверхность двумерна. Замкнутая поверхность разбивает все пространство на две части: конечную или бесконечную – внутреннюю и всегда бесконечную – внешнюю; в этом случае , двигаясь по линии нельзя попасть из одной части пространства в другую, нигде не пересекая поверхность (рис.).
Тело – внутренняя часть замкнутой поверхности, включая саму эту поверхность (граница тела). Тело, как и пространство, трехмерно, т.е. имеет длину, ширину и высоту.

Рис.

На главное меню

α и β и окружность L с центром O радиуса

r, расположенную в плоскости α (рис.). Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную плоскости α. Отрезки этих прямых, заключенных между плоскостями α и β, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности.

По построению концы образующих, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L1 с центром O1 радиуса r, где O1 – точка пересечения плоскости β с прямой, проходящей через точку O перпендикулярно к плоскости α.
Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор OO1 окружность L переходит в равную ей окружность L1 с центром O1 радиуса r.

с границами L и L1, называется цилиндром (рис.).
Цилиндрическая

поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая OO1 – осью цилиндра.
Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями α и β. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

одной из его сторон. (рис.). При этом боковая поверхность

цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и AD.

Любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью симметрии; середина оси является (единственным) центром симметрии; любая прямая проходящая через центр перпендикулярно оси вращения, является осью симметрии (осью второго порядка).

вращения и перпендикулярно оси симметрии второго порядка, то сечением

является прямоугольник.
Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость α⎥⎪OO1 и α⊥ SS1. Сечением является прямоугольник ABCD.

Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно оси вращения и

параллельно оси симметрии второго порядка, то сечением является круг.
Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость α⊥OO1 и α⎥⎪SS1. Сечением является круг центр, которого принадлежит оси вращения цилиндра.

основанию под острым углом ϕ, я получаю овальные кривые,

которые называются эллипсом.
Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка KK1 пересекает плоскость α под острым углом ϕ к нижнему основанию. Сечением является эллипс с центром в производной точке C на прямой OO1.

секущая плоскость находится на расстоянии меньшем, чем радиус шара

от центра).

Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости α и β. Сечением является шар, центр которого принадлежит оси вращения шара.

секущая плоскость находится на расстоянии радиуса от центра шара).
Пример:

дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости α на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

плоскость находится на расстоянии большем, чем радиус шара от

центра).
Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости α на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

свойства цилиндра и конуса. При изучении шара очень полезна

его аналогия с кругом.
Определение: геометрическое место точек пространства, удаленных на данное расстояние от одной точки, называется сферой.
Указанное расстояние (R) называется радиусом сферы, а указанная точка (O) – ее центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром; все точки шара удалены от центра на расстояние, меньшее или равное R. Отрезок , соединяющий две точки сферы, называется хордой (шара или сферы); хорда проходящая через центр, называется диаметром.

O

R

 

центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой

окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис.), а сами отрезки – образующими конической поверхности.

с границей L, называется конусом (рис.). Коническая поверхность называется

боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса.

вокруг одного из его катетов (рис.). При этом боковая

поверхность конуса образуется вращением гипотенузы AC, а основание – вращением катета BC.

основанию, то сечением является круг.
Пример: дан конус с основанием

L и центром O. Секущая плоскость α⎪⎢L. Сечение круг.

его основание и вершину, то сечением является равнобедренный треугольник.
Пример:

дан конус с основанием L и центром O. Точка S ∈α, AB ∈α. Сечение равнобедренный треугольник.

(не параллельно основанию под некоторым углом), то плоскость пересечения

образована эллипсом.
Пример: дан конус с основанием L и центром O. Угол (L,α)=ϕ. Сечение эллипс.

плоскость пересечения образована параболой. Пример: дан конус с основанием

L и центром O. α||AS. Сечение парабола.

плоскость пересечения образована одной ветвью гиперболы. Пример: дан конус

с основанием L и центром O. Сечение ветвь гиперболы.