Презентация на тему Объёмы пространственных фигур

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
5. Объем

наклонной призмы

6. Объем пирамиды

7.Объем конуса

8. Объем шара

9. Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора

Содержание урока :

объёма;
Узнать формулы объёмов пространственных фигур.
Раскрытие связи между двумя науками:

алгеброй и геометрией. Вывод основной формулы для нахождения объёмов геометрических тел.

дм²; м²…

1 см
1 см
Единицы измерения объемов:
см³; дм³; м³…

1 см
1

см

1 см

Что изучают

В, С имеют равные размеры, то объемы этих тел

– одинаковы.

для фигур на плоскости.
Определение 1.  Объемом тела называется положительная

величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:
равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;
Определение 2.  Тела с равными объемами называются равновеликими. Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.

Понятие объема.

кубы с ребром, равным единице измерения.




















V=20ед.3

то объем тела равен объему его частей.



V
V=V1+V2
V1
V2
V

ребро разбивается параллельными плоскостями, проведенными через точки деления ребер

на равные части длиной 1/10 n. объем каждого полученного кубика будет равен 1/10 3n, т.к. длина ребер этого кубика 1/10 n , то
а*10 n; в*10 n; с*10 n
Т.к. n→+∞, то Vn→V=авс
V=a*b*c*10³n* 1/10 3n=a*b*c

основания на высоту.
V=Soc*h, т.к. Sос.=a*b;h=c
Следствие 2:
Объем прямой

призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник равен произведению площади основания на высоту.
Т.к. ∆ABD-1/2 □АВСД→SABD=½SABCD→VABC=½SABCД*h=
=SABD*h

Построим сечение прямоугольного параллелепипеда , проходящее через диагонали верхнего и нижнего оснований

высоту
Призма -треугольная:
С1Д1, СД- высоты оснований
Vnp=VABD+VBDC (∆AДC;∆BCD- прямоуг-е)
→VABC=SAСD*h+SBCD*h=SABC*h=
=½AВ*СD*h
A
E
D
C
B
h
B1
C1
D1
E1
S1
S2
S3
2. Призма с

произвольным основанием:
Провели непересекающиеся диагонали оснований :АС, АД, А1С1, А1Д1; получили три треугольных призмы.
Vnp=V1+V2+V3=S1*h+S2*h+S3*h=h(S1+S2+S3)=h*Soc

А1

A D B

A1 D1 B1

C1

С

и если их основание вписаны и описаны около цилиндра,

то высоты этих призм равны высоте самого цилиндра.

h

r

h

r

Вписанная
призма

Описанная
призма

высоту.

V=S*h

V=h*S(r)=πR²*h

S(r)=πR²

h

Доказательство:
Впишем в цилиндр правильную n-угольную

призму Fn,а в Fn впишем
цилиндр Pn.

Fn=Sn*h где Sn- площадь
основания призмы
Цилиндр Р содержит призму Fn,
которая в свою очередь,
содержит цилиндр Pn.
Тогда Vn< Sn*hБудем увеличивать
число n =>Rn=r cos 180/n*r
при n → +∞
Поэтому: limVn=V
Из неравенства (1) следует,
что LimSn*h=V
Но LimSn=Пr² таким образом
V=Пr²h
Пr ²=S => V=Sh

Цилиндр
P

Цилиндр
Pn

Призма Fn

из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел.
Развитие

логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий.
Воспитание познавательной активности, самостоятельности.

φ(x)-сечение, φ(x)┴OX, φ(x)∩OX=x






α
β
φ(x)
а
х
в
Х
O
Сечение имеет форму круга либо многоугольника для

любого х € [a;b]

(при х = а и х = b сечение может
вырождаться в точку, как,
например, при х = а на рисунке). Обозначим площадь
фигуры Ф(х) через S(х) и
предположим, что S(х) –
непрерывная функция на
числовом отрезке [a;b].

Разобьем числовой отрезок [a;b] на n равных отрезков Х2-х1=(в-а):n

Если сечение Ф(хi) – круг, то объём тела Ti (заштрихованного на рисунке) приближённо равен объему цилиндра с основанием Фi и высотой Если Ф(хi) – многоугольник, то объём тела Тi приближённо равен объёму прямой призмы с основанием Ф(xi) и высотой ∆xi.

φ(x1)

φ(x2)

φ(xi)

φ(xn)

х1

х2

хi

b=хn

Хi-1

точнее,
чем больше n и, следовательно,
меньше ∆xi

V=

основания на высоту
Треугольная призма
Т.п. имеет S основания и высоту

h.
O=OX∩(АВС); OXᅩ(АВС); (АВС)||(А1В1С1) ;
(А1В1С1)-плоскость сечения: (А1В1С1) ᅩOX

S(x)-площадь сечения; S=S(x), т.к.
(АВС)||(А1В1С1) и ∆ABC=∆A1B1C1(АА1С1С-параллелограмм→АС=А1С1,ВС=В1С1, АВ=А1В1)

площадь перпендикулярного ребру сечения
2. Наклонная призма с многоугольником в

основании

основания на высоту
1. Дана треугольная пирамида
O
X
OXᅩ(АВС), OX∩(АВС)=М; OX∩(A1B1C1)=М1
Х- абсцисса

точки М; S(x)-площадь сечения; S-площадь основания

∆ABC∾∆A1B1C1 так, как АВ∥А1В1; АС∥А1С1; ВС∥В1С1
АВ:А1В1=k→ ОА:ОА1=k; аналогично
ВС:В1С1=АС:А1С1=k; S:S(x)=k²;
∆AMO∾∆M1A1O1→OM:OM1=k; ОМ1:ОМ=Х:h
k=Х:h; S:S(x)=(Х:h)²=k²

S(×)=(S*ײ):h²

основании многоугольник.
Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h,

а площади оснований SuS1 , вычисляется по формуле:

α

α1

φ

φ1

М

М1

O

площади основания на высоту.




h
х
х
O
A
A1
М
М1
R
R1

радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке

О.
Введем ось ОХ (ОМ – ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, является кругом с центром в точке М1 - пересечения этой плоскости с осью ОХ.
Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения через S(х), где х – абсцисса точки М1.

h

х

х

A

A1

М

М1

R

R1

O

ΔОМА~ΔОМ1А1

тел при а=0, b=h, получаем




h
х
х
A
A1
М
М1
R
R1


O
Площадь S основания конуса равна

ПR², поэтому

Следствие

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

шар, Rш ; О- центр шара; ОХ – ось

шара; αᅩOX ;М- центр круга сечения; ОС=r; Sсеч. = S (x); х- абсцисса М

Найти : V

S (x)=πr²

S (x)=π(R²-x²)

-R≤ x ≤R

Применяя основную формулу для вычисления объемов имеем :а =-R; b=R

r

R

него плоскостью. На чертеже два шаровых сегмента- верхний и

нижний. Круг , полученный в сечении – основание сегмента, АВ- высота верхнего сегмента, ВС- высота нижнего сегмента
(оба отрезка –части диаметра АС. ОК=Rш.)

К

Vш. с . =πh²(R-1/3h)

OX ￌ ⍶

S (x)=πх², где R-h ≤x ≤R
где S (x)- площадь сечения

V=π∫(R²-x²)dx=π(R²x-x³/3)| =πh²(R-1/3h)

R

R-h

R-h

R

По определению правила вычислению объемов a=R-h; b=R

S (x)- непрерывная функция на [a; b]

h

двумя секущими параллельными плоскостями.
Круги , полученные в сечениях- основания

шарового слоя, расстояние между этими плоскостями- высота шарового слоя.

Объем шарового слоя – разность объемов двух шаровых сегментов с высотой АС и АВ.