Презентация на тему к уроку геометрия в 8 классе по теме Обобщающий урок по теме окружности

состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от

данной точки – центра окружности.

соотношения в окружности
Содержание

Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты

и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии – окружности.
Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности радиус. Слово это – латинское и означает «луч».
Термин «радиус» впервые встречается в «Геометрии» Рамуса, затем у Ф. Виета. Термин «радиус» становится общепринятым в конце XVII в.

геометрии» Боэция встречается термин «полудиаметр». Его употребляли также Фибоначчи

и Неморарий (XIII в.), Региомонтан (XV в.) и Тарталья (XVI в.).
Термин «хорда» (от греческого «хорде» - струна) был введен в современном смысле европейскими учеными XII – XIII вв.
Тот факт, что диаметр делит круг и окружность на две равные части, был известен ещё в древности задолго до Фалеса Милетского.
Теоремы о зависимости между хордами и расстоянием их от центра изложены в III книге «Начал» Евклида.

называется ее хордой (АВ). Хорда, проходящая через центр окружности,

называется диаметром (d).




Прямая, проведенная из точки, расположенной вне окружности, и имеющая только одну, общую с окружностью точку, называется касательной к этой окружности.





Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

точки окружности делят ее на две части. Каждая из

этих частей называется дугой окружности (АВ).




Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.




Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги (выраженной в радианах или градусах).

лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Окружность, пересекающая вершины многоугольника, называется описанной окружностью этого многоугольника.




Окружность, касающаяся сторон многоугольника, называется вписанной окружностью этого многоугольника.

он опирается.




Доказательство
Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно

угла АВС.





1. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например, со стороной ВС.
АОС – внешний для равнобедренного треугольника АВО, 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, значит
АОС = 1+ 2 = 2 1.
Следовательно,
2 1 = дуге АС или АВС = 1 = половине дуги АС.

1)

2)

3)

Луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке

D. Точка D разделяет дугу АС на две дуги: АD и DС. По доказанному в п.1
АВD = половине дуги АD и DВС = половине дуги DС. Складывая попарно, получаем:
АВD + DВС = половине дуги АD +половина дуги DС,
или АВС = половине дуги АС.
Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.
По доказанному в п.1 АВD = половине дуги АD. По аналогии СВD = половине дуги СD. Вычтем одно равенство из другого
АВD – СВD = половине дуги АD – половина дуги СD,
или АВС = половине дуги АС.

точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между сторонами этого

угла.




Доказательство
ВD перпендикулярен к касательной, угол АВD дополняет до 90˚ угол между хордой АВ и касательной. ВАD прямой. Значит, АDВ также дополняет до 90˚ АВD. Таким образом, рассматриваемый угол равен
АDВ и измеряется половиной указанной дуги.

треугольника АВС, то выполняются равенства

= = = 2R




Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = в. Докажем, что

= =

По теореме о площади треугольника S = ав sin C, S = вс sin А,
S = са sin В.

Из первых двух равенств получаем ав sin C = вс sin А,
откуда = .


Из второго и из третьего равенств следует = .

=

=


Теперь докажем, что = 2R, или ВС = 2R sin А

Проведем диаметр ВА1 и рассмотрим треугольник А1ВС.
Угол С этого треугольника прямой, поэтому ВС = ВА1 sin А1, но sin А1 = sin А. Действительно, если точка А1 лежит на дуге ВС, то А1 = А, значит sin А1 = sin А. Следовательно, ВС = ВА1 sin А, или ВС = 2R sin А.

2) Точки А1 и С совпадают, = . Угол В прямой, так

как опирается на угол в 90º, значит = АС (sin 90 = 1),
а АС = диаметру = 2R.
Следовательно, ВС = 2R sin А.

Теперь попробуем решить задачу, используя данную теорему.

вершину А треугольника АВС и касаются стороны ВС в

точках В и С соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение
Рассмотрим две окружности с радиусами R1 = 5 и R2 = 7 с общей касательной ВС. По условию окружности имеют общую точку А. Тогда либо они касаются, и тогда треугольник АВС определен однозначно, либо пересекаются в двух точках A′ и A′′.
Покажем, что во втором случае радиусы окружностей, описанных около треугольников A′BC и A′′BC равны.
Пусть R′ и R′′ - соответственно их радиусы, угол A′BC = , угол A′CB = . Рассмотрим треугольник A′BC. Получаем,
BA′C = 180º - - ,
= = = 2R′,

= 2R′.

Рассмотрим треугольник A′′BC. Так как

A′BC - угол между хордой A′В и касательной ВС, A′A′′B опирается на хорду A′В, то
A′A′′B= A′BC = .
Аналогично, A′A′′C = A′CB = .
Таким образом, BA′′C = + . Из треугольника A′′BC получаем,
= 2R′′.

Следовательно R′ = R′′ = .

Таким образом, для решения задачи достаточно рассмотреть один случай, когда точка А совпадает, например, с точкой A′. Радиус R описанной около треугольника АВС окружности удовлетворяет равенствам

R = , R = , то есть R² = · .

на хорду АВ, в два раза больше угла между

этой хордой и касательной, то есть AO1B = 2 . Проведем высоту O1P, перпендикулярную АВ, которая является также и биссектрисой угла AO1B. Тогда в прямоугольном треугольнике O1BP
BO1P = , ВР = АР = ,

sin = = , то есть = R1, аналогично = R2.

Таким образом, R² = R1 · R2, R = =
Ответ: .

пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.





Доказательство
Серединный перпендикуляр к отрезку представляет

собой геометрическое место точек, равноудаленных от его концов. Поэтому, если мы проведем два серединных перпендикуляра к сторонам АВ и ВС треугольника АВС, то точка их пересечения (а они обязательно пересекутся, так как перпендикуляры к не параллельным прямым пересекаются) будет равноудалена от вершин А и В, а также от В и С. Таким образом, получившаяся точка О равноудалена от всех трех вершин треугольника, и окружность с центром в О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника и является описанной окружностью. Понятно, что через О проходит и серединный перпендикуляр к АС.

Теперь попробуем решить задачу, используя данную теорему.

, а длина диагонали ромба, проходящей через

центр окружности, равна
. Найдите площадь ромба.








Решение
Пусть О – центр окружности, проходящей через вершины А, В и С ромба АВСD, О принадлежит ВD, К – точка пересечения диагоналей ромба АВСD.
В общем случае возможны два варианта:
1) угол АВС – острый, и тогда точка О лежит внутри треугольника АВС, то есть между точками В и К;

2) угол АВС тупой, и тогда точка О лежит вне треугольника АВС, то есть точка К лежит между точками В и О.

1)

2)

ромб, то его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения

пополам:
ВК = КD = = ,

АК = КС = .

ОВ = ОС = (радиусы окружности). Так как по условию ВК > ОВ, то возможен только первый случай. Таким образом,
ОК = КВ – ОВ = .

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ОКС получаем
КС² = ОС² - ОК², КС = , АС = .

= = .

Ответ: .

через точку М вне окружности провести две секущие, то

произведения длин секущих на их внешние части будут равны: МА · МВ = МС · МD.
Данную теорему примем без доказательства.

Теорема 6 (о секущей и касательной)
Если через точку М вне окружности провести секущую и касательную, то произведение длины секущей на её внешнюю часть будет равно квадрату длины касательной: МА · МВ = МК².
Данную теорему примем без доказательства.

Решим несколько задач, используя данные теоремы.

2 касательная АМ (М – точка касания) и секущая,

пересекающая окружность в точках К и L. Известно, что L – середина отрезка АК, угол АМК = 60º. Найдите площадь треугольника АМК.

Решение
Заметим, что угол КМО = углу АМО – угол АМК, угол КМО = 90 – 60 = 30º. Рассмотрим треугольник МОК:
МО = ОК = 2,
Угол ОКМ = углу КМО = 30º, угол МОК = 120º.
По теореме синусов = , откуда получим

МК = = 2 .

Пусть x – длины отрезков АL и LK. По теореме о касательной и секущей АL · LK = АМ².
Или x · 2x = АМ².
Следовательно, АМ = x .

+МК² – 2АМ · МК cos 60º,
(2x)² =

(x )² + (2 )² - 2x · 2 · ,
или
x² + x – 6 = 0.
Тогда

х1 = , х2 = .

По смыслу задачи x > 0, x = · AM = · .

Вычислим теперь площадь треугольника АМК:

S = AM · MK sin 60º = · 2 = 1,5( ).

Ответ: 1,5( ).

АВС (угол С – прямой) проведена окружность, касающаяся стороны

АС и пересекающая продолжение стороны ВС в точке D. Найдите радиус окружности, если известно, что АВ = 3 см и СD = 3,2см.

Решение
Обозначим искомый радиус через R. Из точки О опустим перпендикуляр ОК на продолжение стороны СВ. По свойству касательной АС перпендикулярен к ОА, АОКС – прямоугольник и
СК = АО = R, KD = CD - R.
Так как ОК перпендикулярен к ВD, то ВК = КD,
CB = CK – BK = R – (CD – R) = 2R – CD.
Следовательно, R = + 1,6.

Найдем СВ. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АВС получаем АС² = АВ² – СВ². По теореме об отрезках касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки, получаем
АС² = СВ · СD.

СD, 9 - СВ² = 3,2 · СВ. Решая

квадратное уравнение и учитывая, что СВ > 0, получаем СВ = 1,8. Следовательно, R = + 1,6 = 2,5.
Ответ: 2,5 см.