Презентация на тему Геометрические задачи на построение

или иного выражения или названия, называется определением. Мы уже

встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение еще одной геометрической фигуры — окружности.
Определение
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

окружности, отрезок СВ — диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности

в два раза больше ее радиуса.
Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке АLВ и АМВ — дуги, ограниченные точками А и В.

выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных

делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов.
Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение:
построить угол, равный данному;
через данную точку провести перпендикулярную к данной прямую прямой;
разделить данный отрезок пополам и другие задачи.

отрезок, равный данному.
Решение
Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч

ОС и отрезок АВ. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке В. Отрезок ОВ — искомый.

с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке.

Требуется построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в

точке D.

После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.

АС являются радиуса­ми окружности с центром А, а отрезки

ОD и ОЕ — радиусами окружности с центром О.
Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ = ОD, АС = ОЕ. Также по построению ВС = DЕ.
Следовательно, ∆АВС = ∆ ОDЕ по трем сторонам. Поэтому ∟DОЕ = ∟ ВАС, т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.

на рисунке. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в

вершине А. Она пересечет стороны угла в точках В и С.
Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках B и С. Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла ВАС.

трем сторонам. В самом деле, АЕ — общая сторона;

АС и АВ равны как радиусы одной и той же окружности; СЕ = ВЕ по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что АСАЕ = АВАЕ, т. е. луч АЕ — биссектриса данного угла ВАС.

Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к

данной прямой.

Решение
Данная прямая а и данная точка М, принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке .
На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МB. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.
Проведем прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а.

треугольника РАВ является также высотой, то РМ ┴ а.

векторными графическими редакторами, предназначенными для создания чертежей.
При классическом черчении

с помощью карандаша, линейки и циркуля производится построение элементов черте­жа (отрезков, окружностей, прямоугольников и т.д.) с точ­ностью, которую предоставляют чертежные инструменты. Использование САПР позволяет создавать чертежи с абсо­лютной точностью и обеспечивает возможность реализации сквозной технологии проектирования и изготовления дета­лей. На основе компьютерных чертежей генерируются управляющие программы для станков с числовым програм­мным управлением (ЧПУ), в результате по компьютерным чертежам изготавливаются высокоточные детали из метал­ла, дерева и т.д.

Положение курсора отсчитывается от начала системы координат, а текущие

значения его координат X и Y отображаются в правой часты Строки текущего состояния, расположенной в нижней части окна приложения.
Создание и редактирование чертежа реализуется с помощью Инструментальной панели, которая по умолчанию размещается в левом верхнем углу окна прило­жения. Инструментальная панель включает в себя пять различных рабочих панелей, каждая из которых содержит набор кнопок определенного функционального назначения и Панель переключения, которая обеспечивает переход от одной рабочей панели к другой.

рисовать на чертеже определенные объекты: точка, отрезок, окружность, прямоугольник

и др.
Панель Редактирование содержит кнопки, которые позволяют вносить изменения в чертеж, производя над объектами различные операции: перемещение, копирование, масштабирование и т.д.
Панель Выделение позволяет осуществить различные ва­рианты выделения объектов: отдельные объекты, группы объектов и т.д.
Панель Измерения позволяет измерять расстояния (вычисляются и отображаются в миллиметрах), углы (в градусах), периметры и площади различных объектов.
Панель Размеры и технологические обозначения позволяет грамотно оформить чертеж: обозначить на чертеже размеры деталей, сделать надписи и т.д.

отрезок, окружность, прямоугольник и т.д.) осуществляется с помощью панели

Геометрические построения. После выбора объекта щелчком мыши по соответствующей кнопке появляется Строка параметров объекта. Каждый объект обладает определенным набором параметров, которые характеризуют его размеры и положение на чертеже.
Например, после выбора на панели Геометрические построения кнопки Ввод отрезка появится строка с параметрами отрезка: координатами его начальной и конечной точек, длиной , углом наклона и стилем линии.

и сами поля. По внешнему виду кнопки можно судить

о состоянии поля, которое может находиться в одном из трех состояний: фиксированном (обозначается «крестиком»), в режиме ожидания ввода (обозначается «галочкой») и просто доступном для ввода.

параметров сводится к активизации нужных полей и вводу в

них заданных параметров. После ввода минимального набора параметров, достаточных для построения объекта (для отрезка координат начальной и конечной точек), система автоматически создает объект.
Можно осуществлять Автоматический ввод параметров, Ручной ввод параметров и Ввод параметров с использованием Геометрического калькулятора.

щелкнуть по кнопке Ввод отрезка. Появится Строка параметров отрезка,

а в Строке сообщений появится запрос Укажите начальную точку отрезка или введите ее координаты.
Установить курсор в поле чертежа на точку с начальны­ми координатами отрезка и произвести щелчок. При этом в поля координат точки т1 будут внесены значения координат указанной точки на чертеже, а в Строке параметров символ «галочка» сменится на символ «крестик», это означает, что введенные параметры зафиксированы.
Установить курсор в поле чертежа на точку т2 с конечными координатами отрезка и произвести щелчок. Отрезок построен.

щелкнуть по кнопке Ввод прямоугольника. Появится Строка параметров прямоугольника,

содержащая координаты левой верхней (т1) и правой нижней (т2) вершин, высоту и ширину прямоугольника и стиль линии:

клавиш {Alt}+{1}. Ввести числовые значения координат, осуществляя переход между

полями координат X и Y с помощью клавиши {Tab}.
Активизировать поля координат точки т2 совместным нажатием на клавиатуре клавиш {Alt}+{2}. Ввести числовые значения координат. Прямоугольник построен.

построения щелкнуть по кнопке Ввод окружности. Появится Строка параметров

окружности, содержащая координаты центра окружности, точки на окружности, радиуса окружности и стиль линии.
Установить курсор в поле чертежа на точку центра окружности и произвести щелчок, в поля координат центра окружности будут внесены значения координат указанной на чертеже точки.
Щелкнуть правой клавишей мыши в поле Радиус окружности и в появившемся меню выбрать пункт Длина кривой. Курсор примет форму мишени.
Выбрать отрезок и щелкнуть левой клавишей мыши. Система автоматически измерит длину выбранного отрезка и построит окружность с таким радиусом.

и выполнять геометрические построения. В школьном курсе геометрии рассматриваются

геометрические построения с использованием линейки и циркуля, такие построения можно выполнять и на компьютере.
Рассмотрим задачу о построении перпендикуляра к прямой.
Условия задачи следующие: Даны прямая и точка на ней. Построить прямую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Составим сначала алгоритм выполнения заданного построения.
Построить прямую а и точку М на ней.
На равных расстояниях от точки М построить на прямой точки А и В.
Построить две окружности с центрами в точках А и В с радиусом АВ.
Через точки пересечения окружностей Р и Q провести прямую. Данная прямая пройдет через точку М и будет являться перпендикуляром к прямой а.

с использованием системы КОМПАС-ГРАФИК.
Построение перпендикуляра к заданной прямой.
Построить прямую

а.
На панели Геометрические построения щелкнуть по кнопке Ввод отрезка и с использованием ручного ввода параметров задать координаты начальной точки т1(10,0) и конечной точки т2 (70,0).

а. На панели Геометрические построения щелкнуть по кнопке Ввод

точки и с использованием ручного ввода параметров задать координаты точки М (40,0), точки А (25,0) и точки В(55,0).

с радиусом АВ. На панели Геометрические построения щелкнуть по

кнопке Ввод окружности и с использованием ручного ввода параметров задать координаты центра (25,0).
Задать радиус окружности с использованием Геометрического калькулятора, для этого щелкнуть правой клавишей мыши в поле Радиус окружности и в появившемся меню выбрать пункт Между двумя точками. После того как курсор примет форму мишени, щелкнуть по точкам А и В. Окружность с заданным радиусом будет построена.

и с радиусом АВ.
Соединить точки пересечения окружностей отрезком. Задать

начальную и конечную точки отрезка с использованием Геометрического калькулятора, выбрав пункт меню Пересечение.
Ввести на чертеже обозначения. Выбрать на Панели управления кнопку Размеры и технологические обозначения, и на появившейся панели щелкнуть по кнопке Ввод текста. Ввести обозначения.
Алгоритм построения перпендикуляра к заданной точке прямой выполнен.

равный заданному углу А от луча ОМ.
Составим сначала

алгоритм выполнения заданного построения:
1.       Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине заданного угла А, которая пересечет стороны угла в точках В и С.
2.       Построить окружность того же радиуса с центром в начале заданного луча ОМ, которая пересечет луч в точке D.
3.       Построить окружность с центром в точке D и радиусом BC.
4.       Обозначить точку пересечения окружностей с центрами O и D, не лежащую на луче ОМ, буквой E.
5.       Полученный угол MOE равен заданному A.

автоматического ввода параметров).  
Построить произвольный луч ОМ (ввести отрезок

с использованием автоматического ввода параметров).
Построить окружность с центром в точке А (с использованием ручного ввода) и произвольного радиуса (с использованием автоматического ввода).
Обозначить точки пересечения окружности со сторонами угла буквами B и С.

использованием ручного ввода) и заданного радиуса AB (с использованием

геометрического калькулятора).
Для этого щелкнуть по полю радиус правой кнопкой мыши и в контекстном меню выбрать пункт Между 2 точками.

заданного радиуса будет построена.
Обозначить точку пересечения окружности с

лучом OM буквой D.
Построить окружность с центром в точке D заданного радиуса BC.
Обозначить точку пересечения окружностей буквой E.
Соединить отрезком точки О и Е, угол EOM равный углу A построен.

А. Построить его биссектрису.
Начертим геометрические объекты, заданные в условии

задачи: два отрезка, исходящих из одной точки под произвольным неразвернутым углом.
Построить два отрезка, исходящие из одной точки (начертить отрезки с использованием автоматического ввода параметров).
Ввести обозначение угла на чертеже буквой А с помощью панели Размеры и технологические обозначения.

заданного угла А.

Щелкнуть на кнопке Ввод окружности и построить

окружность произвольного радиуса с центром в точке А (в режиме автоматического ввода).
Активизировать панель Размеры и технологические обозначения, щелкнуть на кнопке Ввод текста и ввести обозначения точек пересечения окружности со сторонами угла буквами В и С.

точках В и С.

5. Выбрать инструмент Ввод окружности и построить

две окружности заданного радиуса с центрами в точках В и С (с использованием Геометрического калькулятора).
Для этого щелкнуть на поле радиус правой кнопкой мыши и в контекстном меню выбрать пункт Между 2 точками. Точку пересечения окружностей обозначить Е.

Е проведем прямую.

6. Щелкнуть на кнопке Ввод отрезка и начертить

отрезок через точки А и Е (в режиме автоматического ввода). Луч АЕ будет являться биссектрисой заданного угла.

равный данному.
2 уровень.
Построить середину данного отрезка.
3 уровень.
Построение треугольника по

двум сторонам и углу между ними.
Построение треугольника по трем сторонам.
Выполнить построение на компьютере с использованием САПР и в тетрадях по математике с помощью циркуля и линейки.
Записать доказательство-обоснование построения.