Презентация на тему Площадь криволинейной трапеции

Определение:
фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции
f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

Площадь криволинейной трапеции

Изображения криволинейных трапеций:

[a; b]
функция , а F – ее первообразная на

этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема:

Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции

определенную на
отрезке [a; b] . Если a < x

≤ b , то S( x ) – площадь той части
криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной
прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а)

Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь
криволинейной трапеции ) .
Нам осталось доказать , что S' ( x ) = f ( x ) (2)
По определению производной
докажем, что ΔS(x) → f ( x ) (3)
Δ x
при Δ x →0

Для простоты рассмотрим случай Δ x > 0 .

Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x),
то ΔS ( x) – площадь фигуры , заштрихованной на рисунке 2, б.
Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно.
Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому
в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих
промежутку [ a ; b ] . имеем :
S ( x ) = F (x) + C ,
где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных
для функции F . Для нахождения C подставим х = а :
F ( a ) + C = S ( a ) = 0,
откуда C = - F (a ) . Следовательно ,
S ( x ) = F( x ) – F ( a ). (4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) ,
подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим:
S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).

Доказательство

непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру,

ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а — д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е.
S=F(b)-F(a). (1)
Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а

 (3)
Выясним геометрический смысл числителя Δ S (х). Для простоты

рассмотрим случай ΔX>0. Поскольку Δ S(х)= S (х + Δ х) — S (х), то Δ S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади Δ S(x),опирающийся на отрезок [х; х+Δ х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ∈ [х; х+Δ х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х;x+Δx], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади Δ S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем Δ S (x)=f (с) Δ х, откуда   (Эта формула верна и при Δ х<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + Δx; то с стремится к х при  . Так как функция f непрерывна,   при  . Итак,  при  .Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х∈ [а;b] имеем:
S(x) = F(x)+C,
где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a)+C=S(a)=0,
откуда C=—F(a). Следовательно, S(x) = F(x)-F(a). (4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим:
S=S(b)=F(b)-F(a).

у = 4 -

х²и у=0
Решение:
1. Построим криволинейную трапецию:
у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём [а; b]:
4-х²= 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)
S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Пошаговый пример

и нижнем пределах интегрирования.

отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x)

на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0