Презентация на тему Правильные многоугольники (9 класс)

у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.

многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Окружность называется

описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.


Теорема: В любой

правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве

теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки Н1 , Н2, Нn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник.

Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник.
Доказать: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом

ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис.

можно провести окружность, и притом только одну.
Доказательство:
Проведём биссектрисы ВО

и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180⁰. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD.

1

2

3

4

Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.

какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к.

через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аn можно описать только одну окружность.

o

A

B

C

D

многоугольника в их серединах.

Следствие №2
Центр окружности, описанной около правильного

многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

площадь правильного n-угольника, a1 – его сторона, Р –

периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что

вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь

каждого из которых равна

Следовательно,

вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О

O

А1

А2

А3

Аn

H2

H1

Hn

H3

Следовательно,

6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и

правильного шестиугольника:

на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1,

ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8).
Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник.

Построение правильных многоугольников.

угольник
Построить правильный 2n-угольник
Решение.
Опишем около него окружность. Для

этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения.
Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1.
Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам
Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги.
Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника. На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольник А1 В1 А2 В2 ... А6 В6.

которого равна данному отрезку.
Решение:
Построим окружность (О;PQ) и отметим на

ней произвольную точку А1
Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 =А2А3=А3А4=А4А5=А5А6.
Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6.

А6

А1

А2

А3

А4

А5

2.Любой выпуклый многоугольник является правильным
3.Многоугольник является

правильным,
если он выпуклый и все его стороны равны
4.Треугольник является правильным, если
все его углы равны
5.Любой равносторонний треугольник является правильным
6.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным
7.Любой правильный четырехугольник
является квадратом