Презентация на тему Условие перпендикулярности прямой и плоскости

КЛАССА
ГИМНАЗИИ №4
ИНШИНА МАША

взаимно перпендикулярными,если угол между ними равен 90°.
Перпендикулярные прямые могут

ПРЯМОЙ
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей

Дано:а llв , а⊥c
Доказать:в ⊥c

прямых,проведем прямые МА и МС,
параллельные соответственно прямым а

2)По условию в ll а, а по построению а ll МА,потому в ll МА. Итак,
прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°.Это означает, что угол между
прямыми в и с также равен 90°.

MA II в
2) а ⊥ c, MC II C

плоскости,если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости
Перпендикулярность

К ПЛОСКОСТИ
Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой.

⊥ α
Доказательство:
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α.Так как

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ

=>a ⊥ x
2) a II a1 , a ⊥

какую-нибудь точку М прямой в проведём прямую в1 ,

А )

Б)

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ

а (М ∈ в, М ∈ в1 )
2) в

двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой

Дано: а ⊥ р, а ⊥q,р ⊂ α,
q ⊂ α, р ∩q=0

Доказать: а ⊥ α

плоскости α. Рассмотрим случай,когда прямая m проходит через точку

Так как прямые p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, △АРQ=△BPQ по трём сторонам. Поэтому ∠APQ=∠BPQ. Рассмотрим △АРL и △BPL.Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР,PL-общая сторона, ∠APL= ∠BPL), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т.е. l ⊥ а.Так как и l ll m , то m ⊥ а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т.е. а ⊥ а .

Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 ⊥ p и а1 ⊥ q , поэтому по доказанному в первом случае а1 ⊥ α.Отсюда (по теореме о двух параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а ⊥ а .

= BQ
3) Δ APQ = Δ BPQ => ∠

проходит прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом только одна
Дано: М,

Доказать: 1)через точку М проходит
прямая, перпендикулярная α
2)такая прямая только одна

и рассмотрим плоскость β, проходящую через точку М и

В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой в. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости(с ⊥ в , с ⊥ а, т.к. β ⊥ а).
2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая (обозначим её через с 1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с ll с 1, что невозможно, так как прямые с и с 1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости α.

∈ β, β ⊥ α
3) α ∩ β =

Доказательство:
1) М ∈ с
2) с ⊥ в по построению
3) с ⊥ а, т.к. β ⊥ α

4) с – единственная прямая

А к плоскости α
Н – основание перпендикуляра
АМ – наклонная,

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая

к плоскости из той же точки
2° У равных наклонных,

3° Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше

основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость,

Дано:М ∈а, АН-перпендикуляр,АМ - наклонная,НМ - проекция наклонной, а ⊥ НМ

Доказать: а ⊥ АМ

Доказательство:

перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН(а ⊥

а ⊥ АН
а ⊥ НМ (по условию)
2)

плоскостью,пересекающей эту прямую и не перпендикулярной её, называется угол

0° ≤ α ≤ 90°
α = 0 °, если прямая параллельна плоскости
α = 90° , если прямая перпендикулярна плоскости

и двумя полуплоскостями с общей границей а , не

Двугранный угол может быть острым , тупым и прямым

перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

некоторой прямой АС, причем АВ ⊥ АС, так как

Дано: АВ ⊂ α , АВ ⊥ β

Доказать: α ⊥ β

Доказательство: