Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Содержание

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССАВЫПОЛНИЛАУЧЕНИЦА 10’Б’ КЛАССАГИМНАЗИИ №4ИНШИНА МАША
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССАВЫПОЛНИЛАУЧЕНИЦА 10’Б’ КЛАССАГИМНАЗИИ №4ИНШИНА МАША ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕОПРЕДЕЛЕНИЕ:Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными,если угол между ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙЕсли одна из двух ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1)Через произвольную точку М пространства,не лежащую на данных прямых,проведем прямые МА и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) МА II a, a II в => MA II в2) а ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИОПРЕДЕЛЕНИЕ:Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если она перпендикулярна к ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИТерема 1:Если одна Дано: а ⊥ α, а ll а1Доказать: а1 ⊥ αДоказательство:Проведем какую-нибудь прямую ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) а ⊥ α , х ⊂ α =>a ⊥ x2) a Дано:а ⊥ α, в⊥ αДоказать: а ll вДоказательство:1)Через какую-нибудь точку М прямой ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) Пусть в неII а. Проведем в1 II а (М ∈ в, ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИТЕОРЕМА:Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α. Рассмотрим случай,когда ДОКАЗАТЕЛЬСТВОЭтап 1:1) АО = ВО2) АР =ВР, AQ = BQ3) Δ APQ ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИТЕОРЕМА:Через любую точку пространства проходит прямая,перпендикулярная к данной ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1) Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость β, ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ1) а: а ⊂ α2) β: М ∈ β, β ⊥ ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯНА РИСУНКЕ:АН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости αН СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ1° Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХТЕОРЕМА:Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) АН ⊥ α, а ⊂ α => а ⊥ АН УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Углом между прямой и плоскостью,пересекающей эту прямую и ДВУГРАННЫЙ УГОЛОПРЕДЕЛЕНИЕ:Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, перпендикулярными к ребру двугранного ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ :Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙПлоскости α и β пересекаются по некоторой прямой АС, причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) АВ ⊥ β, АС ⊂ β => АВ ⊥ АС (α
Слайды презентации

Слайд 2 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССА
ВЫПОЛНИЛА
УЧЕНИЦА 10’Б’

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССАВЫПОЛНИЛАУЧЕНИЦА 10’Б’ КЛАССАГИМНАЗИИ №4ИНШИНА МАША

КЛАССА
ГИМНАЗИИ №4
ИНШИНА МАША

Слайд 3 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две прямые в пространстве называются

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕОПРЕДЕЛЕНИЕ:Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными,если угол

взаимно перпендикулярными,если угол между ними равен 90°.
Перпендикулярные прямые могут

пересекаться( а и в) и скрещиваться(а и с)


Слайд 4 ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ

ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙЕсли одна из

ПРЯМОЙ
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей

прямой,то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано:а llв , а⊥c
Доказать:в ⊥c

Слайд 5 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1)Через произвольную точку М
пространства,не лежащую на данных

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1)Через произвольную точку М пространства,не лежащую на данных прямых,проведем прямые МА


прямых,проведем прямые МА и МС,
параллельные соответственно прямым а

и с.Так как а ⊥c, то ∠ АМС =90°





2)По условию в ll а, а по построению а ll МА,потому в ll МА. Итак,
прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°.Это означает, что угол между
прямыми в и с также равен 90°.

Слайд 6 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) МА II a, a II в =>

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) МА II a, a II в => MA II в2)

MA II в
2) а ⊥ c, MC II C

=> MA ⊥ MC
3) MA ⊥ MC, MA II в, МС II C => в ⊥ С.

Слайд 7 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Прямая называется перпендикулярной к

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИОПРЕДЕЛЕНИЕ:Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если она перпендикулярна

плоскости,если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости
Перпендикулярность

прямой и плоскости обозначается: а⊥α.
Если прямая перпендикулярна к плоскости,то она пересекает её.

Слайд 8 ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ

ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИТерема 1:Если

К ПЛОСКОСТИ
Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна

к плоскости,то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой.

Слайд 9 Дано: а ⊥ α, а ll а1


Доказать: а1

Дано: а ⊥ α, а ll а1Доказать: а1 ⊥ αДоказательство:Проведем какую-нибудь

⊥ α
Доказательство:
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α.Так как

а ⊥ α ,то
а ⊥ х .По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к
третьей а1 ⊥х .Таким образом,прямая а1 перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в плоскости α,т.е. а1 ⊥ α

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ

Слайд 10 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) а ⊥ α , х ⊂ α

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) а ⊥ α , х ⊂ α =>a ⊥ x2)

=>a ⊥ x
2) a II a1 , a ⊥

x => a1 ⊥ x => а1 ⊥ α , т.к. х – произвольная прямая плоскости α.

Слайд 11 Дано:а ⊥ α, в⊥ α


Доказать: а ll в

Доказательство:

1)Через

Дано:а ⊥ α, в⊥ αДоказать: а ll вДоказательство:1)Через какую-нибудь точку М

какую-нибудь точку М прямой в проведём прямую в1 ,

параллельную прямой а. По предыдущей теореме в1 ⊥ α.Докажем, что в1 совпадает с прямой в. Тем самым будет доказано,что а ll в.
2)Допустим,что прямые в и в1 не совпадают.Тогда в плоскости β, содержащей прямые в и в1 ,через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с , по которой пересекаются плоскости α и β.Но это невозможно,следовательно, а ll в

А )

Б)

ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ

Слайд 12 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Пусть в неII а. Проведем в1 II

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) Пусть в неII а. Проведем в1 II а (М ∈

а (М ∈ в, М ∈ в1 )
2) в

⊥ α , с ⊂ α => в ⊥ с
3) а ⊥ α , с ⊂ α => а ⊥ с
4) а ⊥ с , в1 II а => в1 ⊥ с
5) в ⊥ с , в1 ⊥ с, М ∈ в , М ∈ в1 => в ≡ в1
6) в1 II а , в ≡ в1 => а ll в

Слайд 13 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА:
Если прямая перпендикулярна к

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИТЕОРЕМА:Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим

двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой

плоскости

Дано: а ⊥ р, а ⊥q,р ⊂ α,
q ⊂ α, р ∩q=0

Доказать: а ⊥ α

Слайд 14 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α. Рассмотрим

плоскости α. Рассмотрим случай,когда прямая m проходит через точку

О.Проведем через точку О прямую l,параллельную прямой m.Отметим на прямой точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка АВ,и проведем в плоскости α прямую,пересекающую прямые p , q и l соответственно в точках Р,Q и L.

Так как прямые p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ , то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, △АРQ=△BPQ по трём сторонам. Поэтому ∠APQ=∠BPQ. Рассмотрим △АРL и △BPL.Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР,PL-общая сторона, ∠APL= ∠BPL), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т.е. l ⊥ а.Так как и l ll m , то m ⊥ а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой m плоскости α, т.е. а ⊥ а .

Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 ⊥ p и а1 ⊥ q , поэтому по доказанному в первом случае а1 ⊥ α.Отсюда (по теореме о двух параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а ⊥ а .

Слайд 15 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Этап 1:
1) АО = ВО
2) АР =ВР, AQ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОЭтап 1:1) АО = ВО2) АР =ВР, AQ = BQ3) Δ

= BQ
3) Δ APQ = Δ BPQ => ∠

APQ = ∠ BPQ
4) Δ APL = Δ BPL => AL = BL
5) Медиана OL Δ ABL – высота, т.е. АВ ⊥ OL или а ⊥ OL
Этап 2:m – произвольная прямая плоскости α, OL II m. Т.к. а ⊥ OL, то а ⊥ m => а ⊥ α.

Слайд 16 ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА:
Через любую точку пространства

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИТЕОРЕМА:Через любую точку пространства проходит прямая,перпендикулярная к

проходит прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом только одна
Дано: М,

α

Доказать: 1)через точку М проходит
прямая, перпендикулярная α
2)такая прямая только одна

Слайд 17 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) Проведем в плоскости α произвольную прямую а

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1) Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость

и рассмотрим плоскость β, проходящую через точку М и

перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой в прямую, по которой пересекаются плоскости α и β.

В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой в. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости(с ⊥ в , с ⊥ а, т.к. β ⊥ а).
2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая (обозначим её через с 1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с ll с 1, что невозможно, так как прямые с и с 1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости α.

Слайд 18 ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ
1) а: а ⊂ α
2) β: М

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ1) а: а ⊂ α2) β: М ∈ β, β

∈ β, β ⊥ α
3) α ∩ β =

в
4) с: М ∈С, с ⊥ в

Доказательство:
1) М ∈ с
2) с ⊥ в по построению
3) с ⊥ а, т.к. β ⊥ α


4) с – единственная прямая

Слайд 19 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
НА РИСУНКЕ:
АН – перпендикуляр,проведенный из точки

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯНА РИСУНКЕ:АН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости

А к плоскости α
Н – основание перпендикуляра
АМ – наклонная,

проведенная из точки А к плоскости α
М – основание наклонной
НМ – проекция наклонной на плоскость α

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая

Слайд 20 СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ
1° Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной

СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ1° Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной к плоскости из

к плоскости из той же точки
2° У равных наклонных,

проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны

3° Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше

Слайд 21 ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

ТЕОРЕМА:
Прямая, проведенная в плоскости через

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХТЕОРЕМА:Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно

основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость,

перпендикулярна и к самой наклонной

Дано:М ∈а, АН-перпендикуляр,АМ - наклонная,НМ - проекция наклонной, а ⊥ НМ

Доказать: а ⊥ АМ

Доказательство:

Слайд 22 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она перпендикулярна к двум


перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН(а ⊥


НМ по условию и а ⊥ АН, т.к. АН ⊥ α) . Отсюда следует, что
прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости
АМН, в частности а ⊥ АМ .

Слайд 23 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) АН ⊥ α, а ⊂ α =>

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО1) АН ⊥ α, а ⊂ α => а ⊥ АН

а ⊥ АН
а ⊥ НМ (по условию)
2)

а ⊥ (АНМ), АМ ⊂ (АНМ) => а ⊥ АМ

Слайд 24 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Углом между прямой и

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Углом между прямой и плоскостью,пересекающей эту прямую

плоскостью,пересекающей эту прямую и не перпендикулярной её, называется угол

между прямой и её проекцией на плоскость

0° ≤ α ≤ 90°
α = 0 °, если прямая параллельна плоскости
α = 90° , если прямая перпендикулярна плоскости

Слайд 25 ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а

ДВУГРАННЫЙ УГОЛОПРЕДЕЛЕНИЕ:Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями

и двумя полуплоскостями с общей границей а , не

принадлежащим одной плоскости


Двугранный угол может быть острым , тупым и прямым

Слайд 26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, перпендикулярными к ребру

перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на

его ребре

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Слайд 27 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ :
Если одна из двух

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ :Если одна из двух плоскостей проходит через

плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то

такие плоскости перпендикулярны

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ:
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

Слайд 28 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Плоскости α и β пересекаются по

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙПлоскости α и β пересекаются по некоторой прямой АС,

некоторой прямой АС, причем АВ ⊥ АС, так как

по условию АВ⊥ β, т.е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.
Проведём в плоскости прямую АD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD -- линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α и β. Но
∠ BAD=90° (так как АВ ⊥ β ). Следовательно, угол между плоскостями α и β равен 90°, т.е. α ⊥ β .

Дано: АВ ⊂ α , АВ ⊥ β

Доказать: α ⊥ β

Доказательство:

  • Имя файла: uslovie-perpendikulyarnosti-pryamoy-i-ploskosti.pptx
  • Количество просмотров: 191
  • Количество скачиваний: 0
- Предыдущая Natural disasters
Следующая - Отдел Голосеменные. Общая характеристика

Похожие презентации

Геометрия у меня в доме Геометрия у меня в доме 234
Прямоугольный параллелепипед. Куб (5 класс) Прямоугольный параллелепипед. Куб (5 класс) 154
Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника 172
Презентация по теме Треугольник Презентация по теме Треугольник 189
Описанная окружность Описанная окружность 188
Понятие движения Понятие движения 138
Обобщающий урок по теме: Треугольники Обобщающий урок по теме: Треугольники 168
Формулы дифференцирования Формулы дифференцирования 186
Геометрические тела в архитектуре г.Севастополя Геометрические тела в архитектуре г.Севастополя 168
Сечения многогранников плоскостью Сечения многогранников плоскостью 168
Прямоугольный треугольник 8 класс Прямоугольный треугольник 8 класс 153
Мастер класс по геометрии Геометрия вокруг нас Мастер класс по геометрии Геометрия вокруг нас 262
Смежные углы Смежные углы 155
Аксиома параллельности Аксиома параллельности 182
Вписанная окружность Вписанная окружность 173
Свойства прямоугольного параллелепипеда Свойства прямоугольного параллелепипеда 146
Презентация по геометрии на тему Правильные многогранники Презентация по геометрии на тему Правильные многогранники 186
Объем пирамиды Объем пирамиды 214
Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых 213
Можно ли в нашей жизни обойтись без ломаной линии? Можно ли в нашей жизни обойтись без ломаной линии? 162
Площади комбинированных фигур Площади комбинированных фигур 227
Презентация по геометрии Решение прикладных задач 11 класс Презентация по геометрии Решение прикладных задач 11 класс 171
Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник 187
Элективный курс по геометрии для 9 класса Элективный курс по геометрии для 9 класса 150
Пропорциональность Пропорциональность 156
Подобие треугольников Подобие треугольников 149
Неравенство треугольника Неравенство треугольника 169
Преобразование графиков тригонометрических функций Преобразование графиков тригонометрических функций 118
Презентация к уроку. Самрстоятельная работа по теме Соотношения между сторонами и углами треугольника. Презентация к уроку. Самрстоятельная работа по теме Соотношения между сторонами и углами треугольника. 150
Презентация по геометрии на тему Параллелограмм Презентация по геометрии на тему Параллелограмм 167