Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Теорема Арцела. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Обобщенная теорема Арцела.

Основные понятияМетрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ (x, y), определенных для любых x и y из X и подчиненной следующим
Теорема Арцела.  Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Обобщенная теорема Арцела.Подготовил:Студент группы АСПМ-10-1Огородников Кирилл Основные понятияМетрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества (пространства) Основные понятияТопологическое пространство F называется компактом, если любое покрытие F открытыми множествами Основные понятияСемейство Ф = {ϕ} называется равностепенно непрерывным, если для каждого ɛ Основные понятияТеорема (о предкомпактных подмножествах в метрических пространствах). Для того, чтобы множество Теорема АрцелаТеорема (Арцела). Для того чтобы семейство Ф непрерывных функций, определенных на Теорема АрцелаПоложим K=max Ki +ɛ/3. По определению ɛ/3-сети, для всякого ϕ Є Теорема АрцелаДостаточность. Пусть Ф – равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. Теорема АрцелаПоскольку по построению |ϕ(xk)-Ψ(xk)| < ɛ/5, |ϕ(xk+1)-Ψ(xk+1)| < ɛ/5, |ϕ(xk)-ϕ(xk+1)| < Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Теорема. Непрерывное отображение метрического компакта в Обобщенная теорема АрцелаПусть X и Y – два метрических компакта и пусть Обобщенная теорема АрцелаДоказательство. Необходимость доказывается так же, как и в теореме Арцела.Докажем Обобщенная теорема АрцелаРассмотрим теперь в компакте Y некоторую конечную ɛ-сеть y1,…,ym, и
Слайды презентации

Слайд 2 Основные понятия
Метрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая

Основные понятияМетрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества

из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния,

т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ (x, y), определенных для любых x и y из X и подчиненной следующим трем аксиомам:
ρ (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x=y;
ρ (x, y) = ρ (y, x);
ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z).

Пусть X – некоторое множество. Система Ƭ его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:
Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих Ƭ, принадлежит Ƭ;
Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих Ƭ, принадлежит Ƭ;
X, Ø Є Ƭ.

Пара (X, Ƭ) называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие Ƭ, называются открытыми множествами.


Слайд 3 Основные понятия
Топологическое пространство F называется компактом, если любое

Основные понятияТопологическое пространство F называется компактом, если любое покрытие F открытыми

покрытие F открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Функция f(x), определенная

в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если существует lim f(x) = f(a).
x -> a

Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в любой точке этого множества.

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если для любого ɛ > 0 найдется такое δ >0 что для любых x’, x’’ из условия |x’-x’’| < δ вытекает условие |f(x’) – f(x’’)| < ɛ.
 

Дополнение до открытых множеств данного топологического пространства называется замкнутыми множествами.

Замыкание множества—пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество.


Слайд 4 Основные понятия
Семейство Ф = {ϕ} называется равностепенно непрерывным,

Основные понятияСемейство Ф = {ϕ} называется равностепенно непрерывным, если для каждого

если для каждого ɛ > 0 найдется такое δ

> 0, что |ϕ(x1)- ϕ(x2)| < ɛ для всех x1 и x2 из [a, b] таких, что ρ (x1, x2) < δ, и для всех ϕ Є Ф.

Семейство Ф функций ϕ, определенных на некотором отрезке [a, b], называется равномерно ограниченным, если существует такое число K, что |ϕ(x)| < K для всех x Є [a, b] и всех ϕ Є Ф.
 

Множество X, лежащее в некотором топологическом пространстве T, называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно.

Пусть M – некоторое множество в метрическом пространстве R и ɛ - некоторое положительное число. Множество A из R называется ɛ-сетью для M, если для любой точки x Є M найдется хотя бы одна точка a Є A, такая, что ρ (x, a) ≤ ɛ.

Множество M называется вполне ограниченным, если для него при любом ɛ > 0 существует конечная ɛ-сеть.


Слайд 5 Основные понятия
Теорема (о предкомпактных подмножествах в метрических пространствах).

Основные понятияТеорема (о предкомпактных подмножествах в метрических пространствах). Для того, чтобы


Для того, чтобы множество M, лежащее в метрическом пространстве

R, было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

Отображение F метрического пространства X в метрическое пространство Y называется равномерно непрерывным, если для каждого ɛ > 0 найдется такое δ > 0, что ρ2 (F (x1), F (x2)) < ɛ как только ρ1 (x1, x2) < δ (здесь ρ1 – расстояние в X, а ρ2 – расстояние в Y), причем δ зависит только от ɛ, но не от x1 и x2.

Отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y называется непрерывным, если для любого открытого множества пространства Y его полный прообраз является открытым в пространстве X.


Слайд 6 Теорема Арцела
Теорема (Арцела). Для того чтобы семейство Ф

Теорема АрцелаТеорема (Арцела). Для того чтобы семейство Ф непрерывных функций, определенных

непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], было предкомпактно

в C[a, b], необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство.

Необходимость. Пусть семейство Ф предкомпактно в C[a, b]. Тогда по теореме о предкомпактных подмножествах в метрических пространствах, для каждого положительного ɛ в семействе Ф существует конечная ɛ/3-сеть ϕ1,…,ϕk. Каждая из функций ϕi, как непрерывная функция на отрезке, ограничена: |ϕi(x)| ≤ Ki.


Слайд 7 Теорема Арцела
Положим K=max Ki +ɛ/3. По определению ɛ/3-сети,

Теорема АрцелаПоложим K=max Ki +ɛ/3. По определению ɛ/3-сети, для всякого ϕ

для всякого ϕ Є Ф имеем, хотя бы для

одного ϕi,
ρ (ϕ, ϕi) =max |ϕ(x)-ϕi(x)| ≤ ɛ/3.
x

Следовательно,
|ϕ(x)| ≤ |ϕi(x)| + ɛ/3 ≤ Ki + ɛ/3 ≤ K.
Итак, Ф равномерно ограничено.

Далее, так как каждая из функций ϕi, образующих ɛ/3-сеть, непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на [a, b], то для данного ɛ/3 существует такое δi, что
|ϕi(x1)- ϕi(x2)| < ɛ/3,
если |x1-x2| < δi.

Положим δ = min δi. Для произвольной функции ϕ Є Ф выберем ϕi так, чтобы ρ (ϕ, ϕi) < ɛ/3; тогда при |x1-x2| < δ будем иметь
|ϕ(x1)-ϕ(x2)| ≤ |ϕ(x1)-ϕi(x1)| + |ϕi(x1)-ϕi(x2)| + |ϕi(x2)-ϕ(x2)| < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ.
Равностепенная непрерывность Ф также доказана.


Слайд 8 Теорема Арцела
Достаточность.
Пусть Ф – равномерно ограниченное и

Теорема АрцелаДостаточность. Пусть Ф – равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство

равностепенно непрерывное семейство функций. В силу теоремы о предкомпактных

подмножествах в метрических пространствах для доказательства его предкомпактности в C[a, b] достаточно показать, что при любом ɛ > 0 для него в C[a,b] существует конечная ɛ-сеть.

Пусть |ϕ(x)| ≤ K для всех ϕ Є Ф и пусть δ > 0 выбрано так, что
|ϕ(x1)-ϕ(x2)| < ɛ/5 при |x1 – x2| < δ для всех ϕ Є Ф. Разобьем отрезок [a, b] на оси x точками x0 = a < x1 < … < xn =b на промежутки длины меньше δ и проведем через эти точки вертикальные прямые. Отрезок [-K, K] на оси y разобьем точками y0 = -K < y1 < … < ym = K на промежутки длины меньше ɛ/5 и проведем через эти точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник a ≤ x ≤ b, -K ≤ y ≤ K разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше δ и вертикальной стороной меньше ɛ/5. Сопоставим теперь каждой функции ϕ Є Ф ломаную Ψ(x) с вершинами в точках (xk, yl), т.е. в узлах построенной сетки и уклоняющуюся в точках xk от функции ϕ(x) меньше, чем на ɛ/5 (существование такой ломаной очевидно).


Слайд 9 Теорема Арцела
Поскольку по построению
|ϕ(xk)-Ψ(xk)| < ɛ/5, |ϕ(xk+1)-Ψ(xk+1)|

Теорема АрцелаПоскольку по построению |ϕ(xk)-Ψ(xk)| < ɛ/5, |ϕ(xk+1)-Ψ(xk+1)| < ɛ/5, |ϕ(xk)-ϕ(xk+1)|

< ɛ/5, |ϕ(xk)-ϕ(xk+1)| < ɛ/5,
то
|Ψ(xk)-Ψ(xk+1)| < 3ɛ/5.

Так

как между точками xk и xk+1 функция Ψ(x) линейна, то
|Ψ(xk)-Ψ(x)| < 3ɛ/5 для всех x Є [xk, xk+1].
Пусть теперь x – произвольная точка отрезка [a, b] и xk – ближайшая к x слева из выбранных нами точек деления. Тогда
|ϕ(x)-Ψ(x)| ≤ |ϕ(x)-ϕ(xk)| + |ϕ(xk)-Ψ(xk)| + |Ψ(xk)-Ψ(x)| ≤ ɛ.
Следовательно, ломаные Ψ(x) по отношению к Ф образуют ɛ-сеть.
Число их, очевидно, конечно; таким образом, Ф вполне ограничено.

Теорема полностью доказана.


Слайд 10 Равномерная непрерывность.
Непрерывные отображения метрических компактов.
Теорема. Непрерывное

Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Теорема. Непрерывное отображение метрического компакта

отображение метрического компакта в метрическое пространство равномерно непрерывно.

Доказательство.
Пусть

отображение F метрического компакта K в метрическое пространство M непрерывно, но не равномерно непрерывно. Это значит, что для некоторого ɛ > 0 и каждого натурального n найдутся в K такие точки xn и x’n, что ρ1 (xn, x’n) < 1/n и в то же время ρ2 (F (xn), F (x’n)) ≥ ɛ
(ρ1 – расстояние в K, ρ2 – расстояние в M). Из последовательности {xn} в силу компактности K можно выбрать подпоследовательность {xnk}, сходящуюся к некоторой точке x Є K. Тогда и {x’nk} сходится к x; но при этом для каждого k должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств
ρ2 (F(x), F(xnk)) ≥ ɛ/2; ρ2 (F(x), F(x’nk)) ≥ ɛ/2,
что противоречит непрерывности отображения F в точке x.


Слайд 11 Обобщенная теорема Арцела
Пусть X и Y – два

Обобщенная теорема АрцелаПусть X и Y – два метрических компакта и

метрических компакта и пусть CXY – множество всех непрерывных

отображений f компакта X в Y. Введем в CXY расстояние при помощи формулы
ρ (f,g) = sup ρ (f(x), g(x)).
x Є X
Таким образом CXY превращается в метрическое пространство.

Теорема (обобщенная теорема Арцела). Для предкомпактности множества D C CXY необходимо и достаточно, чтобы входящие в D функции были равностепенно непрерывны.

Последнее означает, что для любого ɛ > 0 должно существовать такое
δ > 0, что из
ρ (x’,x’’) < δ
вытекает
ρ (f(x’), f(x’’)) < ɛ,
каковы бы ни были f из D и x’ и x’’ из X.


Слайд 12 Обобщенная теорема Арцела
Доказательство.
Необходимость доказывается так же, как

Обобщенная теорема АрцелаДоказательство. Необходимость доказывается так же, как и в теореме

и в теореме Арцела.

Докажем достаточность. Для этого погрузим CXY

в пространство MXY всех отображений компакта X в компакт Y с той же самой метрикой
ρ (f,g) = sup ρ (f(x), g(x)),
x Є X
которая была введена в CXY, и докажем предкомпактность множества D в MXY. Так как CXY замкнуто в MXY, то из предкомпактности множества D в MXY следует его предкомпактность в CXY.

Зададим ɛ > 0 произвольно и выберем δ так, чтобы из ρ (x’,x’’) < δ вытекало
ρ (f(x’), f(x’’)) < ɛ для всех f из D и всех x’, x’’ из X. Легко видеть, что X можно представить как сумму конечного числа непересекающихся множеств Ei таких, что из x’, x’’ Є Ei следует ρ (x’,x’’) < δ. Действительно, для этого достаточно выбрать точки x1,…,xn так, чтобы они образовали δ/2-сеть в X и положить, например,
Ei = B(xi, δ/2) \ U B(xj, δ/2),
jгде B(xi, δ/2) – шар радиуса δ/2 с центром xi.


  • Имя файла: teorema-artsela-ravnomernaya-nepreryvnost-nepreryvnye-otobrazheniya-metricheskih-kompaktov-obobshchennaya-teorema-artsela.pptx
  • Количество просмотров: 141
  • Количество скачиваний: 0