Презентация на тему Векторы и действия над ними

концов отрезка, например, A называется началом , а другой, то есть B , – концом . 
Вектор обозначается

двумя заглавными латинскими буквами, либо одной строчной. Над обозначением пишется черта или стрелка – знак вектора.

длина отрезка AB. Она обозначается как    

Вектор

наз. нулевым, если его начало и конец совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю: 

одной прямой или на параллельных прямых.
Поскольку нулевой вектор может

иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.
Определение. Если два ненулевых
вектора   и     коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы    и   называются сонаправленными. Этот факт обозначается так: 
Если же эти лучи не являются сонаправленными, то..векторы    и   называются  противона-правленными. Этот факт обозначается так: 

длины равны.


………………………………………………….
отсюда следует Теорема: От любой точки пространства можно отложить

вектор, равный данному, и притом только один.
Определение. Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены

который обозначается  

.
Отложим от произвольной точки A вектор  , равный   Теперь от точки B отложим вектор   равный   Вектор   и называется суммой векторов    и    : Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

При сложении вектора и

вектора , результирующим будет вектор





……………………………………………………………
+ =

называется такой вектор   сумма

которого с вектором   равна вектору   . Обозначается разность векторов так:   где  – вектор, противоположный вектору .





Теорема. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.

число k называется вектор    , длина
которого

равна   причем
при  k > 0  векторы   и   сонаправлены ( ), а
при k < 0  – противонаправлены ( ).

Из этого определения следует, что
векторы   и   коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

число
АПППППППППППППППВ
АПППППППППППППППВ
А + =ППППППППППППППВ
АПППППППППППППППВ
АПППППППППППППППВ
АПППППППППППППППВ
1 А

=ПППППППППППППВ

ненулевому
вектору    необходимо и достаточно,

чтобы существовало такое число λ, что 
Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.
Следствие  1.  Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что 
Следствие  2. Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что 

называются векторами, в котором определены две операции, а именно:

сложение векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше свойствам, рассматриваемые как аксиомы.

, V
+ V
V

комбинацией остальных векторов, если он равен сумме произведений этих

векторов на произвольные действительные числа.



Вектор называется линейно-зависимым, если существуют такие числа λ, не равные 0 одновременно,
что линейная комбинация векторов равна

,то эти векторы линейно-зависимы.

Если часть векторов является

линейно-зависимыми, то и все эти векторы линейно-зависимы

Векторы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда один из них линейно выражен через остальных

они коллинеарны:
1. На плоскости существуют линейно-независимые векторы
2. На плоскости

любые три вектора – линейно-зависимые
Компланарные векторы – это векторы, находящиеся в одной или параллельных плоскостях.
Три вектора линейно-зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны:
1. В пространстве существуют 3 линейно-независимых вектора и они некомпланарны.
2. В пространстве любые 4 вектора линейно-зависимые.

вектор.
Координатами вектора называются проекции вектора на координатные оси.




Координаты вектора:

Размер

пространства определяется по количеству координат

есть число, которое определяется произведением длин на

Скалярное произведение в результате дает число и обозначается как
Я
Я
Я
Я

скалярное произведение векторов, удовлетворяющее свойствам скалярного произведения, рассматриваемым как

аксиомы. Обозначается как Е.
Нормой вектора называется его длина.

Я
Я


Орт – единичный вектор
Нормировать вектор – значит, определить вектор того же направления, но единичной длины

называется вектор, обозначаемый символом   и

определяемый следующими тремя условиями:
1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и   ;
2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора    и  ;
3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы   ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору   ).
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

Модуль векторного произведения    равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

где   - орт векторного произведения.
Векторное произведение  

обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны. В частности,  .
Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

то векторное произведение вектора   на вектор    определяется формулой


или

называется число

Модуль смешанного

произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Пусть   правая тройка векторов.
Объем параллелепипеда, построенного
на векторах  , равен площади
основания    на высоту . Здесь
- угол между векторами  и 

, и поэтому смешанное произведение положительно, когда тройка векторов

правая, и отрицательно, если тройка векторов левая.
Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cos = 0), то   - необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Известно, что

Скалярно умножим этот вектор на вектор   и, учитывая свойства скалярного произведения, получим

элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.


Поэтому смешанное

произведение трех векторов обозначают как  , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.