Презентация на тему по математике Метод вспомогательной окружности

планиметрических задач, когда требуется установить связь между данными и

искомыми величинами, нередко полезно около треугольника или четырехугольника описать окружность, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой

в задаче.

А они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых

в курсе геометрии 8, 9 классов.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
Угол, с вершиной внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному.
Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла.
Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.
В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей.
Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.

научиться выделять и использовать те признаки, наличие которых в

задаче приводит к построению вспомогательной окружности и с ее помощью устанавливать связи между необходимыми объектами и величинами, определенными условием задачи.

треугольник, то можно провести окружность с центром в любой

из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 1200 каждая.
2) Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.
3) Если удается установить, что суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него описывается окружность.
4) Если дан квадрат, прямоугольник или равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность.

принадлежат одной окружности, если:  1) точки А и D расположены

в одной полуплоскости относительно прямой ВС и вы-  полняется равенство ∠BDC = ∠BAC;  2) точки А и D расположены в разных полуплоскостях относительно прямой ВС и выполняется равенство ∠BDC + ∠BAC = 180° (иначе говоря, сумма двух противопо-  ложных углов четырехугольника ABCD равна 180°);  3) точки А и D являются вершинами двух прямоугольных треугольников с общей гипотенузой ВС (и центр их общей описанной окружности О есть середина гипотенузы) — хотя это утверждение, по существу, и является простым следствием двух предыдущих, выделим его отдельным пунктом, поскольку им приходится пользоваться весьма часто; 

и при этом треугольники ABЕ и DСЕ подобны;  5) две

различные прямые АС и BD пересекаются в точке Е, причем выполняется  соотношение: AE ⋅ EC = BE ⋅ ED;  6) произведение диагоналей четырехугольника ABCD равно сумме произведений  противолежащих сторон: AВ ⋅ CD + BC ⋅ AD = AC ⋅ BD;  7) основания перпендикуляров, опущенных из точки D на прямые, содержащие стороны треугольника ABC, лежат на одной прямой. 

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, СС1.

Пусть Н – точка пересечения высот. Постройте треугольник А1В1С1 и перечислите все образовавшиеся четырехугольники, около которых можно описать окружность .
Ответ. ВА₁НС₁,СА₁НВ₁,АС₁НВ₁,АС₁А₁С,ВС₁В₁С,
ВА₁В₁А

проведены высоты АА₁ и СС₁ . Доказать, что треугольник

А₁ВС₁ подобен данному треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным cosB .

высоты АА₁ и СС₁ . Доказать, что треугольник А₁ВС₁

подобен данному треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным cosB .



Решение. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре опишем полуокружность, которая пройдет через основания высот А₁ и С₁ (рис. 3). Так как четырехугольник АС₁А₁С вписанный, то ∟ВАС=180⁰-∟С₁А₁С. Следовательно,∟ВАС=∟С₁А₁В и ∆А₁ВС₁~∆АВС. Так как стороныА₁В и АВ являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках, то их отношение А₁В:АВ равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике АВА₁ А₁В:АВ=cosВ . Итак, ∆ А₁ВС₁~∆АВС и к=cosB .

прямые так, что угол между любыми двумя из них

равен 600.Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.

прямые так, что угол между любыми двумя из них

равен 600.Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на эти прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.
Решение. Пусть три данные прямые пересекаются в точке О; М – произвольная точка плоскости; А, В, и С основания перпендикуляров, опущенных из точки М на данные прямые (рис. 4). Точки О, М, А, В и С лежат на одной окружности с диаметром ОМ (обоснуйте это). Теперь видно, что , ∟АВС=∟АОС поскольку оба они опираются на одну и туже дугу АС. Значит,∟АВС=60⁰ . Точно так же ,∟АСВ=∟АОВ=60⁰, то есть треугольник АВС равносторонний

одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы

со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы

со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть высота СН и медиана СМ
треугольника АВС образует со сторонами
АС и ВС равные углы (рис. 5).
Опишем около треугольника АВС окружность.
Достаточно доказать, что АВ – ее диаметр.
Продолжим медиану СМ до
пересечения с окружностью в точке D и рассмотрим
треугольники АСН и DCB. Так как
∟АСН=∟DCB по условию и ∟А=∟D как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то ∟AHC=∟DBС=90⁰. Следовательно, CD диаметр окружности. Центр окружности лежит на диаметре CD и на серединном перпендикуляре m к стороне АВ. Так как по условию CD не является высотой, то прямые m и CD имеют только одну общую точку М, которая является центром описанной окружности. Следовательно, АВ – диаметр окружности и ∟ACB=90⁰.

основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из вершин А

и С соответственно.
Известно, что DE/AC = k, ВС = а и АВ = b. Найдите сторону АС.
Решение.
Из точек D и Е сторона АС видна под прямым углом,
значит, эти точки лежат на окружности с диаметром АС.
Обозначим угол АВС = a.
Если треугольник АВС остроугольный (рис. 1), то
основания высот AD и СЕ лежат на сторонах
треугольника. Тогда четырехугольник AEDC —
вписанный, поэтому ∟BDE = 180° - ∟CDE = ∟САЕ= ∟CAB.
Треугольники EDB и CAB подобны (по двум углам) с
коэффициентомDE:АС=ВЕ:ВС= cosa, т.е. cosa = k. Тогда по теореме косинусов
АС2 = ВА2 + ВС2 - 2ВА • ВС cos а = b2 + а2 - 2аbк.

тупой (рис.2).
Тогда четырехугольник AECD вписанный, и аналогично предыдущему получаем:

cosa = k и АС2 = b2 + а2 - 2аbк
Аналогичный ответ получаем в случае, когда ∟CAB тупой.

 

основания высот AD и СЕ лежат на продолжениях сторон

ВС и АВ. Вписанные углы CDE и CAE опираются на одну и ту же дугу, поэтому
∟BDE = ∟CDE = ∟CAE = ∟CAB.
Треугольники EDB и CAB подобны (по двум углам) с коэффициентом
=cos(1800 - a) = - cos а т.е. cos а = - k.
Тогда AC2 = a2 + b2 + 2abk.
 

Ответ: AC = √a2 + b2 + 2abk.
AC = √a2 + b2 - 2abk.

 

 

причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника

в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Поэтому
∟ВОС+∟ВЕС=60⁰+120⁰=180⁰
 Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности.
Вписанные

в эту окружность углы CBE и COE опираются
на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.
б) По теореме косинусов ВС²=ВЕ²+СЕ²-2ВЕ·СЕ·соs120⁰,ВС=56
 Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:
ЕМ=(2ВЕ·СЕ·cos(∟ВЕС/2))/(ВЕ+СЕ)=15
По свойству биссектрисы треугольника  СМ/ВМ=СЕ/ВЕ=24/40=3/5, значит, 
СМ=3/8·ВС=21,ВМ=35
По теоре­ме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что МО=(ВМ·СМ)/ЕМ=49
 Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.
 
Ответ: 113.

углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно,

что PQ = 8 и ∠ABC = 60°

Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника ABC, если известно, что PQ = 8

и ∠ABC = 60°
Решение.а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда BQ/BP=BC/BA  или BQ/BC=BP/BA , но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен  BQ/BP=BC/BA =cosB ,откуда АС=PQ/cosB=8/cos60⁰=16  Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен  R=AC/sin60⁰=16/√3
Ответ: 16/√3

пересекаются под прямым углом, а продолжения боковых сторон АВ

и DС пересекаются в точке К под углом 30⁰.Известно что ∟ВАС=∟СDВ,а площадь трапеции S.Найдите площадь треугольника АКD. (1,5S или 0.5S)
2.В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН ( А-Н-С),угол АВН равен углу СВМ,АВ=9,ВС=12
а)докажите, что АМ=ВМ
б) найдите длину НМ. (2,1)
3.Сторона треугольника √2,углы,прилежащие к ней,равны 75⁰ и 60⁰.Найдите отрезок,соединяющий основания высот,проведенных из вершин этих углов. (1)