Презентация на тему к исследовательской работе по теме 10 способов решения квадратных уравнений

уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с

решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

данной цели, мною были поставлены следующие задачи:
   -  изучить историю

развития квадратных уравнений;
     - выявить наиболее удобные способы  решения квадратных уравнений;
   - научиться решать квадратные уравнения различными способами.

решать уравнения не только первой, но и второй степени

еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд

задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499

г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0.

ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.

Автор насчитывает 6 видов уравнений:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были

впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

уравнения на множители.
Решим уравнение х2 + 10х - 24

= 0. Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в

левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а

≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px +

c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p

а) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

ах2 + bх + с = 0, где а

≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену,

в результате получим уравнение
у2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5
у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0,

где а ≠ 0.
1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,
х2 = с/а.
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
x2 + b/a • x + c/a = 0.
Согласно теореме Виета
x1 + x2 = - b/a,
x1x2 = 1• c/a.
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,
x1x2 = - 1• ( - c/a),
т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

четное число, то формулу корней


В. Приведенное уравнение
х2 + рх

+ q= 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

0.
Решение. Так как а + b + с =

0 (345 – 137 – 208 = 0), то
х1 = 1, х2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345.
Б.) Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
2) Решим уравнение 2х2 + 3х +1= 0. Так как 2 - 3+1=0, значит х1= - 1, х2 =-с/а= -1/2
Ответ: х1=-1, х2 =-1/2.

уравнении
х2 + px + q = 0
перенести второй

и третий члены в правую часть, то получим
х2 = - px - q.
Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

- 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в

виде
х2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х2 и прямую
у = 3х + 4.
Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам
М (0; 4) и N (3; 13).





Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

координат графики функций

и Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому.

в одной системе координат гиперболу

и прямую Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно,

и линейки.
нахождения корней квадратного уравнения ах2 +

bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Тогда по теореме о секущих имеем
OB • OD = OA • OC,
откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает

ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра
(AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

= 0 (Рис.7) Решение. Определим координаты точки центра окружности по

формулам: Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

+ pz + q = 0.
Криволинейная шкала номограммы

построена
по формулам (рис.11):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.),
Из подобия треугольников САН и CDF
получим пропорцию

8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0

и z2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,
получим уравнение
z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения
z2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,
получим уравнение
t2 - 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и
t2 = 4,4, откуда
z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале

эта задача формулируется
следующим образом :
«Квадрат и десять корней равны 39»
(рис.15).
Для искомой стороны х первоначального
квадрата получим

- 16 = 0.
Решение представлено на рис. 16,

где у2 + 6у = 16, или
у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у2 + 6у + 9
и 16 + 9 геометрически представляют
собой один и тот же квадрат, а исходное
уравнение
у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение.
Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5,
или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.16).

рассмотреть нестандартные приемы решения квадратных уравнений . В ходе

решения квадратных уравнений на элективном курсе ,они высказали мнение ,что эти приемы упрощают решение квадратных уравнений . Если вдруг забудешь формулу корней , то можно применить один из нестандартных приемов решения уравнений. Наиболее интересными показались способы
№ 5 и 7.

что с поставленной целью и задачами я справилась, мне

удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Способов решения квадратных уравнений очень много. Я выделила 10 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения . Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.

научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к

выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, так как в своей работе я не только рассмотрела методы решения квадратных уравнений, но и историю их развития.