Презентация на тему по математике на тему Комплексные числа

и тригонометрическую формы комплексного числа.
Уметь:
производить над комплексными числами операции

сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа;
переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую;
пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

нового материала

+, –, 
Рациональные числа: +, –, ,

÷

Действительные числа: +, –, , ÷, любые длины

Q

Z

N

R

C

корней

Сложение, вычитание, умножение, деление
Извлечение корней из неотрицательных чисел

Сложение, вычитание,

умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел

Извлечение корней из произвольных чисел

Комплексные числа, C

Все операции

корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого

равен .

2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто

мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3.

где a и b — действительные числа.

В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

числа и чисто мнимого числа.
Определение 2. Два комплексных

числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

o
Мнимые числа
b ≠ o
Рациональные
числа

Иррациональные
числа

Мнимые числа с
ненулевой

действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.

Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

(c + di) = (а + с) + (b

+ d)i

(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i

(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

действительную часть и поменять знак у мнимой части, то

получится комплексное число, сопряженное данному.

Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается :

:

.

Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

есть число действительное.
Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно

сумме сопряженных данным числам.

Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

z, равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z,

т.е.

Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

является само число i, а второй степенью – число

-1:

.
Более высокие степени числа i находятся следующим образом:

i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.д.

i1 = i, i2 = -1

Очевидно, что при любом натуральном n

i4n = 1; i4n+1 = i;
i4n +2 = - 1 i4n+3 = - i.

= (a + c) + (b + d)i
Например:
1. (2

+ 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
2. (– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
3. (– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

+ bd) + (ad + bc)i
Например:
1. (– 1 +

3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 
2. (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Произведение двух сопряженных чисел – действительное число:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число:
bi  di = bdi2 = − bd
Например: 
1. 5i•3i = 15i2 = − 15;
2. − 2i•3i = − 6i2 = 6.  

комплексное число c + di ≠ 0 определяется как

операция обратная умножению и выполняется по формуле:


Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.
Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Например:

плоскости соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости

берут их радиусы-векторы
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число ,

равное расстоянию от точки М до начала координат

b

a

М (a, b)

y

x

O

φ

числа,
r =

- модуль комплексного числа,

форме
Теорема 1. Если
и
то:
б)
а)
Теорема 2

(формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда