Презентация на тему Примеры логарифмических уравнений и неравенств

неравенства

которая связана не только с математикой, но и, казалось

бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой.
Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита".
1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны).
2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.
Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем , которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212 гг. до

н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а2... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: am*an = am+n.
Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".
Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).

сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1

+ loga N2  (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2|   (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).

2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство
примет вид   (a > 0, a ≠ 1,
N1N2 > 0).

степени на логарифм этого числа:
loga N k =

k loga N         (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N|       (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

4) Формула перехода к другому основанию:
   

  (a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0),


в частности, если b = c, получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).

Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
При

a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 loga x1 < loga x2), а при 0 logax1>logax2).
loga 1 = 0 и loga a = 1     (a > 0, a ≠ 1).
Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+ ), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+ ).
Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,

называется логарифмическим уравнением.

Логарифмические уравнения

Решением является x=ab

f(x)= g(x),

g(x)>0,

f(x)>0.

f(x)= g(x),

g(x)>0,

f(x)= g(x),

f(x)>0.

неравносильных переходах
loga f(x) = loga g(x)     f(x)

= g(x)

⇔ b = ac
Пример
log2(5 + 3log2(x

- 3)) = 3
Решение
5+3log2(x-3)=23 ⇔ log2(x - 3) = 1 ⇔ x=5

c ⇔ b = ac
Пример
log3x +

log3(x + 3) = log3(x + 24),
Решение
О.Д.З.: x>0,
x(x+3)=x+24 ⇔ x2 + 2x - 24 = 0 ⇔ x={-6;4} ⇔
x>0
⇔ x=4

f(t)=0
Пример
lg2x - 3lgx +

2 = 0
Решение
lg x = t lgx=1
t2-3t+2=0 ⇔ lgx=2 ⇔ x={10;100}

50 - 5lgx ⬄5lg x = 25 ⬄

⬄x=100

Решение


log2(x+2)=t,
t2-t-2=0.

частей
Пример
log2 (2x – x2 + 15) = x2

– 2x + 5.
Решение
1) 2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = –((x2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1)2)≤ 16 ⬄  log2 (2x – x2 + 15) ≤ 4.
2) x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ≥ 4;

log2 (2x – x2 + 15)=4,
x2 – 2x + 5 =4.

x=1

log2 (2x – x2 + 15) = x2 –

2x + 5.
Решение 2x–x2+15=t, t>0
x2–2x+5=20–t

log2t=20-t

y=log2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1

неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,

называется логарифмическим уравнением.

Логарифмические неравенства

f(x)>g(x)>0,

a>1.

0

0

2) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)

f(x)>g(x)>0,

h(x)>1.

0

0

от логарифмов

Пример
log2x(x2-5x+6)

⬄ ⬄ x∈(0;1/2)∪(1;2) ∪ (3;6)
x2-5x+6>0,
x>0.

любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и

число x – 1.

В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10:

Таким образом, знак величины loga x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1) или (x – 1)(a – 1).

1