Презентация на тему к 1-5 урокам стереометрии в 10 классе

изучает свойства фигур на плоскости.
Стереометрия изучает свойства фигур

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

аксиомы планиметрии вы знаете?

Через любые две точки можно провести

на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна
,,.А

• В

•
С

α

плоскости, то и все
точки прямой лежат в плоскости

••
А
α
А
•В
•

точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат

α

β

а

А •

которых лежат прямые
РЕ,МК,DB,AB,EC
б) точки пересечения прямой DK с

№1 а),б)

Ответ

в плоскостях
DCE1 и BQC
Ответ
В плоскости DCC1: D,C, C1,

точки можно провести прямую, и притом только одну
из трех

Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

в одной плоскости;
б) любые четыре точки лежат в одной

плоскости;

•С
•В
•А
α

•B
б) любые четыре точки лежат в одной плоскости
А•
В•
С•
D•
α
D•
β
A•
C•
в)

В•

С•

D•

α

A•

г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна

B•

•A

C•

α

току проходит плоскость, и притом только одна.
α
a
М•
Дано: а, М

Доказательство

1. Рассмотрим прямую а не лежащую на ней точку М.отметим на
прямой а две точки P и Q. Точки P, Q, М не лежат на одной прямой,
поэтому согласно аксиоме А1 через эти точки проходит некоторая
плоскость α. Так как 2 точки прямой а ( Р и Q)лежат в плоскости α,
то по аксиомеА2 плоскость αпроходит через прямую а.

2. Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки Р, М и Q. Следовательно эта плоскость совпадает с плоскостью α, так как по аксиоме А1 через точки Р, М и Q проходи только одна плоскость.

притом только она

а
в
•
М
•
N
α
Дано: прямые а и в ,а

U

Доказать: а и в ϵ α

Доказательство:

Дополнительное построение ( точка N).
Плоскость α проходит через прямую в и точку N.
Аксиома А2. ( две точки прямой а лежат
в плоскости α).
4. Вывод.
5. Единственность ( Любая плоскость, проходящая
через прямые а и в, проходит через точку N).
6. Плоскости совпадают.

ϵ α, а ⊂ α,
то А …

2) А ϵ α, В ϵ α, то АВ …α

3) А ϵ α, В ϵ α, С ϵ α, то С …α

4) Если М ϵ α,М ϵ β, α β = а, то М … а

U

а

в

с

•

•

•

M

А

В

α

следствий
Устно
Дан куб.
Найдите:
Несколько точек, которые
лежат в плоскости α;
2)

3) Несколько прямых, которые
лежат в плоскости α;

4) Несколько прямых, которые
не лежат в плоскости α;

5) Несколько прямых, которые
пересекают прямую ВС.

6) Несколько прямых, которые не
пересекают прямую ВС.

D

А

В

С

А1

С1

В1

D1

α

что все отрезки лежат в одной плоскости.
Дано: АВ, ВС,

Доказать: (АВ, ВС, АС) (АВС)

U

Доказательство:

1. (А,В,С) ϵ α, так как две точки принадлежат одной прямой, то по А2 (А, В, С) ϵ (АВС)

2. (А,В,С) ϵ α. Через А, В, С по аксиоме А1 проходит единственная плоскость. Две точки каждого из отрезков АВ, ВС, АС лежат в плоскости, следовательно по аксиоме А2 прямые АВ, ВС, АС , а значит и отрезки
АВ, ВС, АС лежат в плоскости α, ч.т.д.

α

А

В

С

α

диагоналей,
М- точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.

1) Лежат ли точки В и С в плоскости α?

2)Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

3) Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АОD.

4) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°

О, М ϵ α,
(А,D,О) ϵ α, АВ = 4см,

Найти: (В,С) ϵ α, D ϵ МОВ, МОВ ∩ АОD, Sромба

Решение

М

С

D

А

В

О

α

О, М ϵ α,
(А,D,О) ϵ α, АВ = 4см,

Найти: (В,С) ϵ α, D ϵ МОВ, МОВ ∩ АОD, Sромба

Решение

D ϵ α, О ϵ α, по А2 DO ⊂ α, так как В ϵ DO, то В ϵ α. Аналогично
А ϵ α, О ϵ α, то по А2 АО ϵ α, так как С ϵ АО, то С ϵ α.

2) ОВ ϵ МОВ, D ϵ ОВ, то D ϵ МОВ.

3) О ϵ МОВ, О ϵ АОD.

В ϵ МОВ,В ϵ АОD , следовательно, МОВ АОD=ВО, но так как
ВО часть ВD, то АОВ АОD=ВD

∩

U

Если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эти точки

4) Sромба=4· 4 ·sin60°=8 √3 (см²)

М

С

D

А

В

О

α

М, с а = В,М ∉с.
U
U
Доказать: 1)

U

α,

в α,

U

с α

U

2) Лежат ли в одной плоскости все прямые проходящие через точку М?

в

а

с

•

•

•

М

А

В

α

в принадлежат плоскости α, следовательно по аксиоме А2 прямая

2. Все прямые проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости

в

а

с

•

•

М

А

В

•

α

По следствию 2 проходит единственная плоскость.

Одна из трех прямых

ВВ1, точка N лежит
на ребре СС1, точка К на

1. MN ∩ BC = F;
2. F ϵ

•

А

А1

В

М

В1

С1

С

N

D

K

D1

O

в) KN ∩ ABC = O

А

О

В

В1

А1

М

С1

С

К

N

F

D1

D

г) OF ∩ ABC = MNK
1. KN∩ DC = O
O ϵ KN, DC→ O ϵ ADC и

O ϵ DCC1

в одной
плоскости, если его диагонали АC и BD

α

А

В

С

D

О

определяют некоторую плоскость α. Прямая АС лежит в плоскости

α

А

В

С

D

О

аксиом.
Решить задачи .
А
В
С
М
•Р
•D
•E
F
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно

.

1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости:
а) MAB и MFC; б) MFC и ABC;
2. Найдите длину CF и площадь АВС.
3. Как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью ABC?

Fϵ MAB, F ϵ MFC
→по аксиоме

б) C ϵ MCF, C ϵ ABC,
F ϵ MFC, F ϵ ABC

→по аксиоме А3
MCF ∩ ABC = FC

2. ∆АВС – равносторонний → FC - медиана, высота, биссектриса. ∆CFB- прямоугольный : CB=6(см), FB = 3(см). По теореме Пифагора FC=3√3 (см).
S∆ABC=½ AB · CF; S ∆ ABC= 9√3 (см²).
- Как еще можно найти длину FC?
- Как по- другому найти S∆ABC?

3.DE и BC лежат в плоскости BMC. Пусть они пересекаются в точке K,так
как Kϵ BC, значит K ϵ ABC по аксиоме A2;
1) DE ϵ BMC, BC ϵ BMC;
2) DE ϵBC = K, K ϵ BC → K ϵ ABC.

плоскости АВС с прямой Д1Р?

2. Как построить линию пересечения

3. Вычислите длину отрезков АР и АД1,
если АВ = а

А

В

С

D

A1

B1

C1

D1

Решение
А
В
С
D
P
K
C1
B1
A1
D1
1.

2. (AD1P) ∩ АВВ1 =АР

3. По теореме Пифагора
АР =½ а √5,
АD1 = a√2

В, С не лежат на одной прямой
М ϵ АВ,

α

β

а

В

Задача 4

Плоскости α и β пересекаются
по прямой с. Прямая а лежит
в плоскости α и пересекает
плоскость β . Пересекаются ли
прямые а и с? Почему?

с

диагоналей.
Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости

Ответ : 16√3 (см²)

в плоскости α.
Докажите, что и медиана его лежит в

А

В

М

С