Презентация на тему Методическая разработка по теме Определение параллелограмма. Свойства параллелограмма

а
c
b
а
c
b
а
c
b


∠ 1 + ∠ 2 = …
1
2
1
1
2
2
накрест лежащие углы…
соответственные

сумма односторонних углов

а
c
b
а
c
b
а
c
b


∠ 1 + ∠ 2 = 180°
1
2
1
1
2
2
накрест лежащие углы

соответственные углы равны

сумма односторонних углов

одного ∆ соответственно равны …
две стороны и угол между

сторона и два прилежащих к ней угла

три стороны

стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

противоположные
углы равны.
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4
ВС

ОD, АО = ОС
О – точка пересечения диагоналей

то этот четырехугольник - параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,
АВ =

АВСD – параллелограмм

Доказательство

Доказательство
Рассмотрим треугольники
∆ АBC и ∆ACD:
∆ АBC =

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.
Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Проведем диагональ АС.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

стороне, равна 180°.
∠А + ∠D = 180° ,
∠D +

∠А + ∠B = 180° ,

∠В + ∠C = 180° ,

пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,

АВСD – параллелограмм

Доказательство

ОС.
Доказательство
Проведем диагонали АС и BD.
Рассмотрим треугольники
∆ АОB

∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников
(ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD,
то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

– параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим треугольники ∆ АBC
и ∆ACD:
1. ∠BАC

следовательно ∆ АBC = ∆ACD – по
стороне и двум прилежащим углам;
поэтому ВС = AD.

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при
параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача

делятся пополам.

В
А
С
D




1


3
4
Дано: АВСD - параллелограмм
Доказать: ВО = ОD, АО

Доказательство:
рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD,

Следовательно: АО = ОС, ВО = ОD

O

АВ = СD (противоположные стороны параллелограмма,

2

– точка пересечения диагоналей, отрезок MK проходит через эту

A

Решение: по свойству параллелограмма ВО = ОD, ∠ ВОМ =∠ КОD – вертикальные ,
∠ МВО = ∠ DОК – накрест лежащие при параллельных прямых ВМ и DК и секущей ВD ⇒ ∆OMB = ∆OKD (по стороне и двум прилежащим углам).

Докажите, что ∆OMB = ∆OKD

B

C

D

O

параллельны,
то этот четырехугольник параллелограмм.
АВСD – четырехугольник,
АВ

АВСD – параллелограмм

Доказательство

проведем диагональ АС.
Рассмотрим треугольники
∆ АBC и ∆ACD:
∆

1

2

3

4

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых
ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -
параллелограмм.

за точки отмечаются на четырёхугольниках, какие фигуры получаются при

Теорема Вариньона

параллельны.

одной стороне равна 180о.
Доказательство. Углы, прилежащие к стороне параллелограмма,

противоположные углы равны.

Доказательство. Пусть АВСD – параллелограмм. Диагональ АС

пересечения его диагоналей. ∆ AOD=∆COB по второму признаку равенства

четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

одной стороне.
Ответ: 180о.

б) углах параллелограмма?
Ответ: В параллелограмме противоположные стороны равны и

параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

на рисунке.

на рисунке.

рисунке. Сколько решений имеет задача?

на рисунке.

Сколько при этом получилось параллелограммов?
Ответ: 9.

равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом?
Ответ:

равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом?

равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом?
Задача

и 15 см. Чему равны две другие стороны?
Ответ: 10

угол равен 60о.
Ответ: 120о.

Найдите больший угол параллелограмма.
Ответ: 118о.

один из оставшихся углов.
Ответ: 140о.

Найдите больший угол. 
Задача 2
Диагональ параллелограмма образует с двумя его

Найдите больший угол. 
Решение: пусть, тогда
∠D =х+40°, по свойству

Найдите больший угол. 
Задача 2
Диагональ параллелограмма образует с двумя его

углы 25о и 35о. Найдите больший угол параллелограмма.  




Решение:

Ответ: 60°, 120°

угла А. Она разбивает сторону ВС на отрезки ВН=6

Н

6см

4см

2

1

3

Решение:

угла А. Она разбивает сторону ВС на отрезки ВН=6

Н

6см

4см

2

1

3

Решение: ∠1= ∠2 так как АН биссектриса угла А,
∠2= ∠3 как накрест лежащие углы при AB ⎢⎢DC и секущей АН. Следовательно ∠1= ∠3, тогда ∆ ADH-
Равнобедренный AD=AH=6 см. По свойству параллелограмма AD=ВС=6 см, DC=DН+НС=6+4=10 см
Р= 2·(10+6)=32 см
Ответ: 32 см

углы 25о и 35о. Найдите больший угол параллелограмма.  
Ответ:

28о. Найдите больший угол параллелограмма.
Ответ: 118о.

между высотами этого параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла.

Ответ: 60о.

тупого угла, равен 50о. Найдите острый угол параллелограмма.
Ответ:

угла относятся как 3:7. 
Ответ: 54.

к одной стороне.
Ответ: 90о.

DF. Какой фигурой является четырехугольник BFDE?
Ответ: Параллелограммом.

смежными сторонами), противолежащих друг другу?
Ответ: Параллельны.

и одна диагональ соответственно равны: а) 5 см,

Ответ: а) Нет;

б) нет;

в) да;

г) да.

параллелограмма, если: а) одна сторона на 2 см больше

Ответ: а) 11 см, 13 см, 11 см, 13 см;

б) 8,5 см, 15,5 см, 8,5 см, 15,5 см;

в) 8 см, 16 см, 8 см, 16 см.

4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны

Ответ: 0,6 м, 0,8 м, 0,6 м, 0,8 м.

двух его вершин равны 3 см и 4 см.

Ответ: 3 см и 4 см.

Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две

Ответ: 10 м.