Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.

Обратная связь

Презентация на тему Аналитическая геометрия

Содержание

2. § Прямая на плоскости 1. Общее
3. ВЫВОДЫ:1) Прямая на плоскости является линией первого
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении
5. 2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты
6. 3) Пусть в общем уравнении прямой один
7. Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит
8. 2. Другие формы записи уравнения прямой на
9. 2) Каноническое уравнение прямой на плоскости3) Уравнение
10. 4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
11. Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox
12. Уравнение y – y1 = k·(x –
13. 3. Взаимное расположение прямых на плоскости На
14. Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны
15. 2) Пусть прямые пересекаютсягде знак плюс берется
16. где знак плюс берется в том случае,
17. 4. Расстояние от точки до прямойЗАДАЧА 3.
18. § Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и
19. ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка.
20. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИЕсли в уравнении Ax+By+Cz+D
21. 2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты
22. а) плоскость отсекает на осях Ox и
23. б) плоскость отсекает на осях Ox и
24. 4) Пусть в уравнении плоскости (2) два
25. б) плоскость отсекает на Oy отрезок b
26. 5) Пусть в общем уравнении плоскости (2)
27. 6) Пусть в общем уравнении плоскости (2)
28. Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через
29. 2. Другие формы записи уравнения плоскости1) Уравнение
31. 2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не
32. 3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две
33. 1) Пусть плоскости параллельны:Получаем, что плоскости λ1
34. 2) Пусть плоскости пересекаютсягде знак плюс берется
35. Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.
36. 4. Расстояние от точки до плоскостиЗАДАЧА 3.
37. § Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой
38. Другие формы записи уравнений прямой в пространстве
39. называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).
40. Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ,
41. 2. Переход от общих уравнений прямой к
42. 3. Взаимное расположение прямых в пространстве В
43. 2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:Получили:
44. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением
45. ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися)
46. ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
47. ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися
48. Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2. Следовательно:
49. ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть
50. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в
51. а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит
52. Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости
53. Скачать презентацию
54. Похожие презентации

§ Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии

ВЫВОДЫ:1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае она

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые,

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B

Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит через O(0;0).Тогда уравнение ℓ можно

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения прямой

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости3) Уравнение прямой, проходящей через две точки

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая ℓ не

Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и Oy и проходит через

Уравнение y – y1 = k·(x – x1) – это уравнение прямой,

3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут:

Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только тогда, когда

2) Пусть прямые пересекаютсягде знак плюс берется в том случае, когда надо

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого

4. Расстояние от точки до прямойЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим

§ Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИЕсли в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C

2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C –

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е.

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).Тогда уравнение λ можно записать

2. Другие формы записи уравнения плоскости1) Уравнение плоскости, проходящей через точку

2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной

3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут:

1) Пусть плоскости параллельны:Получаем, что плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда и

2) Пусть плоскости пересекаютсягде знак плюс берется в том случае, когда надо

Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

4. Расстояние от точки до плоскостиЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим

§ Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.ЗАДАЧА

называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая ℓ задана

3. Взаимное расположение прямых в пространстве В пространстве две прямые могут:

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямыхВозможное расположение прямых в пространстве

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между

ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя

Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2. Следовательно:

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то Если условие (10)

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между

Слайды презентации

Слайд 2 § Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой

на плоскости и его исследование
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение

прямой, проходящей через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору

Слайд 3 ВЫВОДЫ:
1) Прямая на плоскости является линией первого порядка.

ВЫВОДЫ:1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае

В общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0,

где A,B,C – числа.
2) Коэффициенты A и B не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой.
Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

Слайд 4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
Если в уравнении Ax+By+C

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все

= 0 все коэффициенты A,B и C отличны от

нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.
1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде

С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.

Слайд 5 2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B –

и B – ненулевые, а C = 0, т.е.

уравнение прямой имеет вид
Ax+By = 0.
Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).

Слайд 6 3) Пусть в общем уравнении прямой один из

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или

коэффициентов A или B – нулевой, а C ≠

0, т.е. уравнение прямой имеет вид
Ax+C = 0 или By+C = 0.
Эти уравнения можно записать в виде
x = a и y = b .

4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0.
Эти уравнения можно записать в виде
x = 0 (уравнения координатной оси Oy)
и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

Слайд 7 Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит через

O(0;0).
Тогда уравнение ℓ можно записать в виде
cosα·x + cosβ·y

+ C = 0,
где C = – p (доказать самим).
Этот частный случай общего уравнения прямой называется нормальным уравнением прямой.

Обозначим:
1) P0(x0;y0) – основание перпендикуляра, опущенного на ℓ из начала координат,

Слайд 8 2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения

1) Параметрические уравнения прямой
ЗАДАЧА 2. Записать

уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0;y0), параллельно вектору

Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Слайд 9 2) Каноническое уравнение прямой на плоскости

3) Уравнение прямой,

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости3) Уравнение прямой, проходящей через две

проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения

прямой.
Пусть прямая проходит через две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) .

Слайд 10 4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox. Тогда она

пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов.

Угол ϕ , отсчитываемый от оси Ox к прямой ℓ против часовой стрелки, называют углом наклона прямой ℓ к оси Ox.
Число k = tgϕ (если оно существует, т.е. если прямая ℓ не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой.
Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.

Слайд 11 Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и

Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и Oy и проходит

Oy и проходит через точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) (где

x1 < x2). Найдем угловой коэффициент этой прямой.

Слайд 12 Уравнение y – y1 = k·(x – x1)

Уравнение y – y1 = k·(x – x1) – это уравнение

– это уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1,y1) и

имеющей угловой коэффициент k.
Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y1 – kx1). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой
y = b или y = 0·x + b,
где k = 0 – угловой коэффициент прямой.

Слайд 13 3. Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости

две прямые могут:

а) быть параллельны, б) пересекаться.
Пусть уравнения прямых ℓ1 и ℓ2 имеют вид:
ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1
ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2
1) Пусть прямые параллельны:

Слайд 14 Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда

Получаем, что прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только тогда,

и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты

при соответствующих текущих координатах пропорциональны, т.е.

или их угловые коэффициенты равны, т.е.
k1 = k2 .

Слайд 15 2) Пусть прямые пересекаются
где знак плюс берется в

2) Пусть прямые пересекаютсягде знак плюс берется в том случае, когда

том случае, когда надо найти величину острого угла, а

знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.

Слайд 16 где знак плюс берется в том случае, когда

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину

надо найти величину острого угла, а знак минус –

когда надо найти величину тупого угла.

критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты k1 и k2.

Слайд 17 4. Расстояние от точки до прямой
ЗАДАЧА 3. Пусть

4. Расстояние от точки до прямойЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана

прямая ℓ задана общим уравнением
Ax + By +

C = 0 ,
M0(x0;y0) – точка, не принадлежащая прямой ℓ.
Найти расстояние от точки M0 до прямой ℓ .

Слайд 18 § Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование

§ Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1.

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0),

перпендикулярно вектору

Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

Слайд 19 ВЫВОДЫ:
1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она

общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D –

числа.
2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Слайд 20 ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
Если в уравнении Ax+By+Cz+D =

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИЕсли в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты

0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля,

то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным.
1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде

С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

Слайд 21 2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A,

B и C – ненулевые, а D = 0,

т.е. уравнение плоскости имеет вид
Ax+By +Cz = 0.
Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0).

ℓ1: By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz)
ℓ2: Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)

Слайд 22 а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и

отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz;
3)

Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D ≠ 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов:
а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде

Слайд 23 б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и

отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy;
в)

плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox.

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

Слайд 24 4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A,

трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D

≠ 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:

а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);

Слайд 25 б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox

параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz);
в)

плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy).

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

Слайд 26 5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и

= 0 и один из коэффициентов A, B или

C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид:
а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0.
Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей координаты

Слайд 27 6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю,

коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид
а)

Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0.
Эти уравнения можно записать соответственно в виде:
а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz;
б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz,
в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

Слайд 28 Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).
Тогда

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).Тогда уравнение λ можно

уравнение λ можно записать в виде
cosα · x +

cosβ · y + cosγ · z + D = 0,
где D = – p (доказать самим).
Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости.

Обозначим:
1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат,

Слайд 29 2. Другие формы записи уравнения плоскости
1) Уравнение плоскости,

проходящей через точку
параллельно двум неколлинеарным векторам

ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам

Другие формы записи:
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*));
Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2));
Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки;

Слайд 30

Слайд 31 2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не

лежащие на одной прямой – частный случай уравнения

(4)
Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

Слайд 32 3. Взаимное расположение плоскостей
В пространстве две плоскости

могут:

а) быть параллельны, б) пересекаться.
Пусть уравнения плоскостей λ1 и λ2 имеют вид:
λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Тогда:

Слайд 33 1) Пусть плоскости параллельны:
Получаем, что плоскости λ1 и

1) Пусть плоскости параллельны:Получаем, что плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда

λ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их

общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

Слайд 34 2) Пусть плоскости пересекаются
где знак плюс берется в

2) Пусть плоскости пересекаютсягде знак плюс берется в том случае, когда

том случае, когда надо найти величину острого угла, а

знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

Слайд 35 Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е.
критерий перпендикулярности плоскостей,

заданных общими уравнениями.

Слайд 36 4. Расстояние от точки до плоскости
ЗАДАЧА 3. Пусть

4. Расстояние от точки до плоскостиЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана

плоскость λ задана общим уравнением
Ax + By +

Cz + D = 0 ,
M0(x0;y0;z0) – точка, не принадлежащая плоскости λ .
Найти расстояние от точки M0 до плоскости λ .

Слайд 37 § Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

§ Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух

различных плоскостей, содержащих прямую ℓ . Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Слайд 38 Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в

пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору

Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

Слайд 39 называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной

и координатной форме соответственно).

Слайд 40 Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ

ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.
Пусть прямая проходит через точки

M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

Слайд 41 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая ℓ

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
Чтобы записать канонические

(параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор

Слайд 42 3. Взаимное расположение прямых в пространстве
В пространстве

две прямые могут:
а) быть параллельны,

б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:

1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны:

Слайд 43 2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:
Получили: прямые

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:Получили: прямые ℓ1 и ℓ2

ℓ1 и ℓ2 пересекаются ⇔ они не параллельны и

для них выполняется условие

или, в координатной форме,

3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

Слайд 44 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых
Возможное

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямыхВозможное расположение прямых в

расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам:
1) параллельные

прямые → расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые → а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые → а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?

Слайд 45 ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом

в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и

ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Получаем:

где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

Слайд 46 ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой

в пространстве.

Слайд 47 ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их

общего перпендикуляра.

где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ , M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

Слайд 48 Тогда d – высота пирамиды, опущенная из

точки M2.
Следовательно:

Слайд 49 ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0)

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения

– точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы

уравнений

Слайд 50 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ

. Они могут 1) быть параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Слайд 51 а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости,

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то Если условие

то
Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то

прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,
где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.