очень хорошо знакомых состоялось много приветственных рукопожатий. Некоторые из
нас пожали четное число рук, другие — нечетное. Например, я обменялся тремя рукопожатиями, а мой друг, математик, — девятью. Когда я сказал своему другу, что обменявшихся нечетным числом рукопожатий, кроме меня и его, было еще 5 человек, он ответил:
— Ошибаешься. Число людей, пожавших нечетное число рук, непременно должно быть четным.
Прав ли он?
Решение.
Да, прав. Задачу можно интерпретировать с сетью с числом узлов, равным числу людей, обменявшихся рукопожатием, а каждое рукопожатие рассматривать как ветвь, соединяющую 2 узла. Необходимо доказать, что в любой сети число узлов чётно.
Пусть сеть имеет r ветвей, у к-ых всего 2r концов. Пусть а1 –число узлов, от к-ых отходит 1 ветвь, a2 - число узлов, от к-ых отходит 2 ветви, аналогично получаем числа: a3,a4,…,an,…
Тогда,a1 узлов содержит a1 концов,a2 узлов - 2a2 концов, a3 узлов – 3a3 концов и т.д.Всего концов будет:
a1+2a2+3a3+…+nan+…=2r
Значит, a1+3a3+5a5+… чётно, а потому a1+a3+a5+…чётно, что и требовалось доказать.