Презентация на тему по математике Полярные координаты

выделенной точкой О и единичным отрезком ОЕ. Эта прямая

в данном случае будет называться полярной осью. Точка O называется полюсом.

Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r, ϕ), где r - расстояние от точки А до точки О, ϕ - угол между полярной осью и вектором , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки, если ϕ > 0 и по часовой стрелке, если ϕ < 0.

При этом первая координата r называется полярным радиусом, а вторая ϕ - полярным углом. Полярный угол можно задавать в градусах или радианах.

то обычно за полюс принимается начало координат и за

полярную ось – ось Ox. В этом случае каждой точке плоскости с декартовыми координатами (x, y) можно сопоставить полярные координаты (r, ϕ). При этом декартовы координаты выражаются через полярные по формулам:

Наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам:

задается уравнением r = R .
Действительно, окружность является геометрическим

местом точек, удаленных от точки О на расстояние R. Все такие точки удовлетворяют равенству r = R. При этом, если угол увеличивается, то соответствующая точка на окружности движется в направлении против часовой стрелки, описывая круги. Если же угол уменьшается, то соответствующая точка описывает круги в направлении по часовой стрелке.

= aϕ, где a - некоторое фиксированное число, угол

ϕ задается в радианах.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками, каждое из них равно 2πa. Действительно, если угол увеличивается на 2π, т.е. точка делает один, то радиус увеличивается на 2πa, что и составляет расстояние между соседними витками.

3ϕ.
Если угол ϕ изменяется от нуля до 30о, то

радиус r изменяется от нуля до единицы. Если угол ϕ изменяется от 30о до 60о, то радиус изменяется от единицы до нуля. Таким образом, при изменении угла от 0о до 60о точка описывает кривую, похожую на очертания лепестка. Такие же лепестки получаются когда угол изменяется в пределах от 120о до 180о и от 240о до 300о.

окружности, катящейся без скольжения по прямой.
Найдем уравнения циклоиды. Предположим,

что окружность радиуса R катится по оси Оx, и в начальный момент времени закрепленная точка A0 находилась в начале координат. Если окружность повернется на угол ϕ, то закрепленная точка переместится в положение А. Поскольку дуга AP прокатилась по отрезку A0P, то их длины равны, т.е. AP = A0P = R. Для координат x, y точки A имеем:
x = AP – AQ = R – Rsin ϕ = R(ϕ – sin ϕ),
y = OP - OQ = R – Rcos ϕ = R(1 – cos ϕ).

б)

в)

Нарисуйте геометрическое место точек на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) 30о < ϕ < 60о; б) 1 < r < 2; в) 30о < ϕ < 60о, 1 < r < 2.

б)

Найдите геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению:
а) б)

- ϕ.

4ϕ .

- cos ϕ.

r = a/ϕ.

r = aϕ2.

уравнением r = 1 + cos 3ϕ + sin23ϕ.

вращающейся карусели. Какой будет его траектория относительно земли?
Ответ: Спираль

Архимеда.