Презентация на тему Новые признаки равенства треугольников

треугольников связанные с
высотой стр. 8-14
4.Признаки равенства треугольников связанные с

биссектрисой стр. 15-17

5.Признаки равенства треугольников связанные с
медианой стр. 18-21

4.Литература стр. 22-23

5.Рецензия стр. 24

В начало

равенства треугольников, которые позволяют решать определённый тип задач. Мы

решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.
Таким образом, целями нашей работы является:
1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты.
2. Доказать новые признаки равенства треугольников.
3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.

3

В начало

одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между

ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
А=А1; АС=А1С1;
AВ=А1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
т. к. А=А1, то ΔАВС можно наложить на ΔА1В1С1 так, что вершина
А совместится с вершиной А1, а АВ и АС наложатся соответственно на
лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то АВ совместится
с А1В1, а АС – с А1С1; совместятся точки В и В1, С и С1=> ВС=В1С1=> ΔАВС=ΔА1В1С1

5

A

B

C

A1

B1

A1

В начало

угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим

к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; А=А1;
AВ=A1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
1) наложим ΔАВС на ΔА1В1С1 так, что вершина А совместилась с вершиной А1, АВ с А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от А1В1
2) так как А=А1, В=В1, то сторона АС наложится на луч А1С1=>вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей на луче А1С1 и луче В1С1=>ΔАВС=ΔА1В1С1
ч. т. д.

6

A

B

C

A1

B1

C1

В начало

трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС

и ΔА1В1С1
СВ=С1В1; АС=А1С1;AВ=А1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
1) Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилася с вершиной А1, а вершина В – с В1, а вершины С и С1 окзались по разные стороны от прямой А1В1
2) Так как АС=А1С1, ВС=В1С1=> ∆А1С1С и ∆В1С1С р/б => 1=2, 3=4 (по признаку р/б ∆)=>А1СВ1=А1С1В1
3) Рассмотрим ∆АВС и ∆А1В1С1:

А1С1=АС (по усл.)
С1В1=СВ (по усл.) =>∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
С=С1 (п.2)

7

B(B1)

A(A1)

C

C1

1 3

2 4

В начало

вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам

и высоте, проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:
1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
B=B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
C=C1 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4
H=H1=900 (по усл.)
3 ) 1=3 (п.1)
2=4 (п.2)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; C=C1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

9

A

B

C

H

A1

B1

C1

H1

1 2

3 4

=>А=А1

В начало

вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум

углам и высоте, проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:
1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1 :
B=B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
=>2=4
A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1)
Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1 :
AH=A1H1(по усл.)
2=4 (по п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1(кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1(п.1)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл.)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

10

A

B

C

H

A1

B1

C1

H1

1 2

3 4

В начало

острых угла одного треугольника соответственно равны высоте и двум

прилежащим к ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
1=3; 2=3;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
1=3 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1
AH=A1H1 (по усл.)
2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
3)1=3 (по усл.)
2=4 (по усл.)
4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

=>A=A1

11

A

B

C

A1

B1

C1

H1

H

1 2

3 4

В начало

не из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны

стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из вершины данного угла, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
1=3; 2=3;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
AB=A1B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
C=C1 (по усл.) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4
H=H1=900 (по усл.)
3)1=3 (п.1)
2=4 (п.2)
4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (по усл.)
AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

=>A=A1

12

A

B

C

A1

B1

C1

H1

H

1 2

3 4

В начало

из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны стороне,

прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
AB=A1B1 ; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
AB=A1B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2) A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1) =>2=4
3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (по усл.)
AC=A1C1 (п.3) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между
A=A1 (по усл.) ними)

13

A

B

C

A1

B1

C1

H1

H

1 2

3 4

В начало

угла, и проекция прилежащей к этому углу стороны одного

треугольника соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции прилежащей к этому углу стороны другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
BH=B1H1 ; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
BH=B1H1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.) =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2) A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1)
3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (п.2) =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.3) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл.)

14

A

B

C

A1

B1

C1

H1

H

1 2

3 4

=>2=4

В начало

выходящая из него биссектриса соответственно равны углу, прилежащей стороне

и выходящей из него биссектрисе в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A=A1
AZ = A1Z1- биссектрисы AB=A1B1
Доказать:
∆ABC=∆A1B1C1

Доказательство:
1.Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1:
AB=A1B1 (по условию)
AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZB=∆A1Z1B1 (по двум сторонам
BAZ=B1A1Z1 (по условию) углу между ними)=>СZA=С1Z1A1
2.Рассмотрим ∆AZC и ∆A1Z1С1:
CAZ=C1A1Z1 (по условию)
AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZС=∆A1Z1С1 (по стороне и двум
CZA=С1Z1A1 (п.1) прилежащим углам)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
A=A1 (по условию)
AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
AC= A1С1 (п.2)

16

A

B

C

A1

B1

C1

Z1

Z

В начало

биссектриса и угол между биссектрисой и стороной соответственно равны

углу, выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – биссектрисы
A = Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство:
Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
LAC = L1A1C1 (по условию) => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
ALC = A1L1C1 (по условию) ALB=A1L1B1
2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
ALB=A1L1B1
BAL=B1A1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1
AL=A1L1 (по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
A=A1 (по условию)
AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
AC= A1С1 (п.2) и углу между ними)

17

A

B

C

A1

B1

C1

L1

L

В начало

из её концов медиана и прилежащая к другому её

концу сторона соответственно равны стороне, выходящей из одного из её концов медиане и прилежащая к другому её концу стороне в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы
BLA = B1L1A1 AL = A1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство:
1. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1 (по условию) => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
LC = L1C1 (по условию) ALB=A1L1B1
2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
ALB=A1L1B1
BL=B1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1
AL=A1L1 (по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
BC = B1C1 (по условию)
AC=A1C1 (п.1) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
AB= A1B1 (п.2) и углу между ними)

19

A

B

C

A1

B1

C1

L1

L

В начало

медианой и стороной соответственно равны медиане, стороне углу между

медианой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы
BLA = B1L1A1 AL = A1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство:
1. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1 (по условию) => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
LC = L1C1 (по условию) ALB=A1L1B1
2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
ALB=A1L1B1
BL=B1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1
AL=A1L1 (по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
BC = B1C1 (по условию)
AC=A1C1 (п.1) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
AB= A1B1 (п.2) и углу между ними)

20

A

B

C

A1

B1

C1

L1

L

В начало

проведённая к ней медиана соответственно равны углу, прилежащей стороне

и проведённой к ней медиане в другом треугольнике, то треугольники равны.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – Медианы
ABL = A1B1L1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1

Доказательство:
1. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
ALB=A1L1B1 (по условию)
BL=B1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 =>
AL=A1L1 (по условию) ALC=A1L1C1
2. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1 => ∆ALC=∆A1L1C1
LC = L1C1(по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
BC = B1C1 (по условию)
AC=A1C1 (п.2) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
AB= A1B1 (п.1) и углу между ними)

21

A

B

C

A1

B1

C1

L1

L

В начало

В. Ф. Бутузов.
23
В начало