Цели: доказать теорему о подобии правильных выпуклых n-угольников, свойство о том, что отношение периметров правильных n-угольников равно отношению радиусов вписанных (описанных) окружностей.
Слайд 5
Доказательство: Докажем второе утверждение. Две фигуры называются
равными, если они движением переводятся одна в другую. Следовательно,
нужно доказать, что эти многоугольники совмещаются движением. ∆А1А2А3 = ∆В1В2В3 по первому признаку (А1А2 = В1В2, А2А3 = В2В3, <А1А2А3 = <В1В2В3). Значит, существует движение, при котором А1 → В1, А2 → В2, А3 → В3. Подвергнем Р1 движению: А1 → В1, А2 → В2, А3 → В3, А4 → С. Точки С и В4 лежат по одну сторону от прямой В2В3. Движение сохраняет углы и расстояние: <В2В3С = <В2В3В4 и В3С = В3В4. А значит, точка С совпадает с В4 и т. д. А4 → В4, А5 → В5 … Аn → Вn. То есть Р1 → Р2 при движении, следовательно, Р1 = Р2. I. Докажем, что Р1 → Р2. Подвергнем Р1 преобразованию подобия: гомотетии с коэффициентом k = Р1 → Р´ (стороны Р´ равны сторонам Р2). Значит, Р´ → Р2 ( в результате движения). Р1 → Р´, Р´ → Р2. Следовательно, Р1 → Р2 и т. д. У подобных фигур
одного квадрата в 3 раза больше стороны другого квадрата.
Как относятся радиусы окружностей, описанных около них и вписанных в них? Ответ объясните.
3) Задача 2. Дан равносторонний треугольник. Как относятся радиусы окружностей, вписанных в данный треугольник, и треугольник, вершинами которого является середина сторон данного равностороннего треугольника?