Презентация на тему по теме Производная и ее применение к уроку Алгебры 10 класс

ее применение»
Цели:
Образовательные: рассмотреть применение производной в
заданиях

В-8, В-14 (ЕГЭ), вырабатывать у учащихся практические
умения и навыки по применению производной.
Развивающие: способствовать дальнейшему развитию
математически грамотной речи, внимания, наблюдательности,
самоконтроля, исследовательских навыков учащихся,  
математического и логического мышления, активизации
познавательской деятельности.
Воспитательные: воспитывать аккуратность,
дисциплинированность, способность самостоятельно принимать
решения.
Место урока в системе уроков по теме: обобщающий урок по  
теме
«Производная и ее применение»
Тип урока: комбинированный
Формы урока: фронтальные, индивидуальные
Оборудование: компьютер, проектор, карточки с проверочной
работой, доска, мел.

Проверочная работа
 
4. Отработка навыков по применению изученного материала
 
5. Презентация

самостоятельно выполненных заданий
 
6. Исторические сведения о производной, ее применение
 
7. Домашнее задание
 
8. Подведение итогов

виды заданий В-8 (ЕГЭ))

1)Найти значение производной в точке х

2)Определить количество целых значений х, в которых функция положительна

3)Найти количество точек, в которых производная равна 0

4)Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
у=с

5)Найти точку экстремума функции

6)Найти количество точек экстремума функции

7)Найти длину наибольшего из промежутков возрастания

8)Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
у=кх+в

= f (x), и касательная к нему в точке

с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.

Решение.

Ответ: - 0,75 .

А

В

С

А

В

С

Ответ: - 3 .

a)

б)

= f (x),
определенной на интервале (a;b). Определите

количество целых
точек, в которых производная функции положительна.

a)

б)

Решите самостоятельно!

Решение.

Целые решения при :
х=-2; х=-1; х=5; х=6.
Их количество равно 4.

Целые решения при :
х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.
Их количество равно 5.

Ответ: 4.

Ответ: 5.

= f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество

точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решите устно!

Ответ: 7.

Ответ: 7.

Ответ: 8.

Ответ: 6.

1

3

4

2

= f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество

точек, в
которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с.

1

3

4

2

Решите устно!

Ответ: 4.

Ответ: 9.

Ответ: 8.

Ответ: 9.

f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите точку

экстремума функции f (x) .

Решите устно!

1

3

4

2

не существует.
Видно, что таких точек на отрезке [-2;

7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума.

Решение.

Ответ: 1 .

4,5

-

+

Задача 7.1. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].

функции y = f (x), определенной на интервале (-11;

3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.

Решение.

В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.

Ответ: 6 .

-10

-7

-1

2

6

f(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек,

в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x + 7 или совпадает с ней.

1

Решение.

Ответ: 3 .

Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2.

Найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Решение.

Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Ответ: 4 .

y = -2

y = -2

2

8

5 3. 3

3 4. 4

2 5. 1

10 6. 3

6 7. 4

в точке х0 по рисунку с изображенным графиком функции

y=f(x) и касательной к нему в точке с абсциссой х0

далее

функции y=f(x) определенный на [-5;11]. Определите количество целых значений

x, в которых f′(x) < 0

1

0

-5

5

7

11

далее

функции y=f(x) на [а;b]. Найдите количество точек, в которых

f′(x) =0

далее

функции y=f(x) на [-5;-3)U(-3;11]. Найдите количество точек, в которых

касательная к графику функции параллельна прямой у=С.

далее

производной функции y=f′(x) на (а;b). Найдите количество точек максимума.
далее

[-6;12]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите длину

наибольшего из промежутков возрастания функции.

далее

производной функции f(x). Найдите количество точек, в которых касательная

к графику функции параллельна прямой y= -2 x +1 или совпадает с ней.

далее

функции и касательная к этому графику, проведенная в точке

с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

далее

функции y = f(x) определенный на [-5;12]. Определите количество

целых значений х, при которых f′(x)>0

далее

функции y=f(x) на [а;b]. Найдите количество точек, в которых

f′(x) =0

далее

функции y=f(x) на [-5;-3)U(-3;11]. Найдите количество точек, в которых

касательная к графику функции параллельна прямой у=С

далее

производной функции y=f′(x) на (а;b). Найдите количество точек минимума.
далее

[-5;12]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите длину

наименьшего из промежутков убывания функции.

далее

производной функции f(x). Найдите количество точек, в которых касательная

к графику функции параллельна прямой y=x+5 или совпадает с ней.

далее

одно из предложенных дальше
 

y = ln(x+5)5 – 5x

на отрезке [-4,5; 0]

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

0

Можно рассуждать иначе

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

1.

Ответ: 20

назад

– 2 на отрезке [-3π/;0]
Функция на всей области определения

возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0.
Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.

0

2.

Ответ: 5

назад

в одном из концов отрезка.
Можно было и раньше

догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?

Найдите наибольшее значение функции


y = 10sinx – x + 7 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

Ответ: 32

3.

назад

что у / < 0.
Тогда наименьшее значение функция будет

иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.

Найдите наименьшее значение функции


y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

1

0

Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

Ответ: 9

4.

назад

= 12cosx + 6 x – 2

+ 6 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

Ответ: 12

4.

назад

значение функции y= 13cos(x)-15x+7 на [-3π/2;0]
Найдите наибольшее значение

функции y= 2tg(x)-2x+5 на [-π/4;0]

Решение

y´= -13sin(x)-15

y´= 0 -13sin(x)-15=0
sin(x)=-15/13<-1
Критических точек нет, т.к |sin(x)|≤1

Находим значение функции на границах промежутка

y(-3π/2)= 13cos(-3π/2)-15*(-3π/2)+7
y(-3π/2)=45π/2+7
y(0)= 13cos(0)-15*0+7=20

20<45π/2+7
Ответ: Наименьшее значение функции
20

Решение

y´= 2/cos2(x)-2

y´= 0 2/cos2(x)-2=0
cos2(x)= 1 cos(x)=1 или cos(x)=-1

x=0 единственная точка
принадлежащая [-π/4;0]
y(0)= 5

Находим значение функции на границах промежутка
y(0)= 5
y(-π/4)= y= 2tg(-π/4)-2*(-π/4)+5
y(-π/4)=3+π/2 < y(0)= 5
Ответ: Наибольшее значение функции 5

«Особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать

практические задачи».
С такими задачами в наше время приходится иметь дело
представителям самых разных специальностей:
1) инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
2) конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
3) экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

Задачи подобного рода носят общее название – задачи
на оптимизацию.

200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы

площадь была наибольшей?

a=x м

b=(100-X) м

Дано: Прямоугольник Р=200м
S=Sнаиб
Найти: а, b

Решение: Пусть a = x м, тогда b= (100-x) м
S=a*b S=x(x-100) S=x2-100x

Найдем, при каких значениях х, функция S=S(х) = x2-100x принимает
наибольшее значение при х принадлежащем [0;100]

S´=2x-100

max

2x-100 >0

X=50 – точка максимума

Т.О. a=50м b=50м Значит, искомый прямоугольник – квадрат

игреком, Вы фиксируете икс, отмечая индексом, Придаёте вы ему тотчас приращение, Тем

у функции самой вызвав изменение. Приращений тех теперь взявши отношение, Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление. Предел такого отношенья выясняется, Он производною в науке называется!