Презентация на тему по алгебре 8 класс на тему Квадратные уравнения

приведения его к возможно более простой форме. В какой

бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же. Лодж О.

 Впервые квадратное уравнение сумели решить математики древнего Египта. В одном из папирусов есть задача: "Найти длину прямоугольного поля, если площадь 12, а длины равны ширине.

Пусть х - длина поля. Тогда - его ширина, S = - площадь. Получилось квадратное уравнение

=12. В папирусе дано правило:

"Разделить 12 на ". 12 : =12 · =16. Итак, х2 =16. "Длина поля равна 4" - указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, и сейчас мы получим два корня уравнения: -4 и 4.Но в египетской задаче и мы приняли бы х = 4,т.к. длина поля может быть только положительной величиной.

Европе XIII-XVII веков.
Франсуа Виет

второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать

задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных табличках встречаются и неполные, и полные квадратные уравнения, например:
х2 + x = 3/4, х2 - x = 14,5.
Правило решения этих уравнений изложено в вавилонских текстах и по существу совпадает с современным, но не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, не говоря, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах нет понятия отрицательного числа и общих методов решения квадратных уравнений.

КАК ВАВИЛОНЯНЕ РЕШАЛИ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УРАВНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НАИБОЛЕЕ СЕРЬЕЗНУЮ И ВАЖНУЮ ВЕЩЬ В МАТЕМАТИКЕ. Лодж О.

равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся

сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь. Фуше А.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал- Хорезми в Европе были впервые изложены в "Книге абака", написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фиббоначи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Общее правило решения квадратных уравнений,приведенных к единому каноническому виду
х2 + bx = c
при возможных комбинациях знаков коэффициентов b,c, было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

символику во все алгебраические доказательства путем применения буквенных обозначений

для выражения как известных, так и неизвестных величин не только в алгебре, но также и в тригонометрии. Бернал Д.

Франсуа Виет родился в городке Фонтене-ле-Конт, недалеко от знаменитой крепости Ла- Рошель.Получил юридическое образование,но стал секретарем и домашним учителем.Тогда Виет очень увлекся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.
В 1571 году Виет переехал в Париж,где возобновил адвокатскую практику а позже стал советником парламента в Бретани.Занял должность тайного советника сначала при королеГенрихе III, а затем и при Генрихе IV.
Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра из 500 знаков, меняющихся время от времени, которым пользовались испанцы.
Из-за религиозных противоречий был отстранен от двора и вернулся на службу лишь после разрыва короля с герцогами Гизами.
Четыре года опалы оказались чрезвычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью. Мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд, который назвал "Искусство анализа или Новая алгебра".Книгу завершить не удалось, но главное было написано. И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

с помощью разложения на множители
х(ax + b) = 0
x=0

или ax+b=0
x=-b/a

Неполные квадратные уравнения
(если хотя бы один из коэффициентов
b или c равен 0 )

Неприведенные
ах2 + bx + c = 0

Приведенные
(если а = 1 )
х2 + px +q = 0

КЛАССИФИКАЦИЯ

Квадратным уравнением называется уравнение вида
aх2 + bx + c = 0,
где х - неизвестное, a,b,c - заданные числа, причем а≠0; а называют старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, c - свободным членом.

Полные квадратные уравнения

ax2 + c = 0
( c не равно 0 )
приводится к виду
х2 =d, где d=-с/d
если d>0,

x= и х=-

если d<0, корней нет

ах2 =0
имеет корень х=0

= 0 ( а≠0):
Зависимость числа корней квадратного уравнения
от

дискриминанта D:

D = b2 - 4ac

+ px + q =0,
то справедливы формулы:

x1+x2 =-p,
x1x2

= q,

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема Виета.

c = 0, где а не равно 0, называют

биквадратным.
После замены х2 = t биквадратное уравнение сводится к квадратному.

Задача.
Решить биквадратное уравнение.
2х4 - 5х2 + 2 = 0
Решение:
Обозначим х2 = t. Тогда х4 = (х2)2 = t2 и уравнение примет вид:
2t2 - 5t + 2 = 0
D = (- 5)2 – 4 · 2·2 = 25 – 16 = 9 >0,
t1=(5 + 3)/4 = 2 и t2=(5 - 3)/4 = 1/2
Так как t = x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений
х2=2 и х2=1/2.
Имеем:

Ответ:

поступают следующим образом:
находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножают

обе части уравнения на общий знаменатель (или на дополнительные множители);
решают получившееся целое уравнение;
исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Задача:
решить дробное рациональное уравнение.
Решение:

Ответ: 2.

y: х = 2 - у.
Подставим выражение для х

в первое уравнение:
(2 – у – у)2 = 12
(2 – 2у)2 = 12
4 – 8у + 4у2 – 12 = 0
4у2 – 8у – 8 = 0
у2 – 2у – 2 = 0
D= (-2)2 – 4·(-2) = 12

Подставим найденные значения
в выражение для х:

ОТВЕТ:

длиной 30 см, а шириной 20 см, наклеили картину,

имеющую форму прямоугольника площадью 200 см2, так, что края картины находятся на одинаковом расстоянии от краев листа. Найти это расстояние.

Решение.
Пусть искомое расстояние равно х см. Тогда длина картины равна (30-2х) см, ширина равна (20-2х) см. Площадь картины равна (30-2х)(20-2х) см2. Так как по условию площадь картины 200 см2, получим уравнение:
(30-2х)(20-2х)=200
600 - 60х - 40х + 4х2 = 200
4х2 - 100х + 400 = 0
х2 -25х + 100 = 0
х1=5 и х2=20
х=20 - не подходит по смыслу задачи
Значит, искомое расстояние - 5 см.
Ответ: 5 см.

- 2ах + а(1 + а) = 0
а) имеет

два различных корня;
б) имеет только один корень;
в) не имеет корней.

Решение.
Найдем дискриминант квадратного уравнения
D = (-2а)2 - 4a(1 + a) = 4a2 - 4a - 4a2 = -4a
а) Уравнение имеет два различных корня, если D>0:
-4a>0, то есть a<0.
б) Уравнение имеет только один корень, если D=0:
-4a = 0, то есть а = 0.
в) Уравнение не имеет корней, если D<0:
-4a<0, то есть a>0.
Ответ:
при a<0 уравнение имеет два различных корня
при а=0 уравнение имеет только один корень;
при a>0 уравнение не имеет корней.

+ bx + c тогда и только тогда представим

в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами:
аx2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2),
когда дискриминант D=b2-4ac этого квадратного трехчлена неотрицателен (х1 и х2 - корни трехчлена)

Задача.
Разложить на множители квадратный трехчлен
6х2 -7х + 2

Решение.
Выносим коэффициент при х2 за скобки:
6х2-7х+2=6(х2-7/6х+2/6)
Находим корни уравнения
х2 - (7/6)х + 2/6 = 0:
D=b2-4ac=49-4·6·2=1>0
х1=1/2; х2=2/3
Запишем: 6х2-7х+2 = 6(х-1/2)(х-2/3) = (2х-1)(3х-2)
Ответ:
6х2-7х+2=(2х-1)(3х-2)