Слайд 3
Комбинаторные задачи
В науке и практике часто встречаются задачи,
решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа
элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.
Способы решения комбинаторных задач:
❖ перебор возможных вариантов;
❖ дерево возможных вариантов;
❖ комбинаторное правило умножения.
Слайд 4
Способы решения комбинаторных задач:
Перебор возможных вариантов
Дерево возможных вариантов
Комбинаторное
правило умножения
Слайд 5
Таких вариантов 10.
Задача 9.2. У Ирины пять подруг:
Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана, Она решила двух
из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Решение:
Переберу возможные варианты:
Слайд 6
Задача 9.7. Используя цифры 0; 2; 4; 6,
составьте все возможные трёхзначные числа, в которых цифры не
повторяются.
Решение:
1) Составлю дерево возможных вариантов:
2) Посчитаю количество трёхзначных чисел по комбинаторному правилу умножения: Первую цифру я могу выбрать из имеющихся четырёх 3 способами, после чего вторую цифру я могу выбрать из оставшихся трёх 3 способами, после чего третью цифру я могу выбрать из оставшихся двух 2 способами, значит способов выбора у меня 3*3*2=18.
Слайд 7
Определение: Перестановкой из п элементов называется каждое расположение
этих элементов в определённом порядке.
Рп = п!
Задача 9.23. Ольга
помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Решение:
Р3 = 3! = 1*2*3 = 6 (вариантов дозвона)
Задача 9.29. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение:
Сначала буду рассматривать уроки алгебры и геометрии как один урок, тогда надо составить расписание не для 6 уроков, а для 5, т.е. Р5 = 5! = 120 (способами). При этом возможны 2! = 2 способа для расстановки уроков алгебры и геометрии относительно друг друга, значит по комбинаторному правилу умножения расписание на понедельник, соответствующее заданным требованиям, можно составить 120*2 = 240 (способами).
Слайд 8
Определение: Размещением из п элементов по к (к≤п)
называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых
в определённом порядке из данных п элементов. Апк = п(п-1)(п-2)(п-3)….(п-(к-1))
Из определения следует, что два размещения из п элементов по к считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.
Задача 9.40. Сколькими способами может разместиться семья из трёх человек в четырёхместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Решение:
Буду распределять (размещать) 4 места по 3 пассажирам, это возможно А43 = 4*3*2 = 24 способами.
Задача 9.52. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?
Решение:
Имея 10 цифр, я могу составить А107 = 10*9*8*7*6*5*4 семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны. Среди этих номеров имеются номера, начинающиеся с цифры 0, их число равно А96 = 9*8*7*6*5*4. Значит всего таких телефонных номеров будет А107 – А96 = 10*9*8*7*6*5*4 – 9*8*7*6*5*4 = 544320.
Слайд 9
Определение: Сочетанием из п элементов по к называется
любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных
п элементов. Спк = п!/к!(п-к)!
В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по к отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Задача 9.57. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двоих из них для участия в математической олимпиаде?
Решение: С72 = 7!/2!5! =7*6:2 = 21.
Задача 9. 68. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трёх из них надо отправить на четвёртый этаж, а четырёх из оставшихся – на пятый. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
На четвёртый этаж можно отправить рабочих С123 = 12!/ 3!9! = 12*11*10/ 6 = 220 способами, после чего на пятый этаж можно отправить четверых из оставшихся 9 рабочих С94 = 9!/4!5! = 9*8*7*6/(1*2*3*4) =126 способами, т.е. по комбинаторному правилу умножения всего таких способов 220*126 =27720.
Слайд 10
Начальные сведения из теории вероятности
Событие, которое может произойти,
может не произойти, называют случайным событием.
Изучением закономерностей случайных событий
занимается теория вероятностей.
Как часто наступает то или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?
Определение: Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу испытаний.
Определение: Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
Задача 9.75. В партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 12 нестандартных деталей. Какова относительная частота появления нестандартных деталей?
Решение: 12:100 = 0,012.
Задача 9.81. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
Решение: 120:1500 = 0,08 = 8%.
