α2, …, αn, то он делится без остатка на
произведение (х- α1)…(х- αn)
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии из Теоремы Безу. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, и пусть P(х) имеет k+1 попарно различных корней: α1, α2,…, αk, αk+1. По предположению индукции многочлен делится на произведении (х- α1)…(х- αk): P(x)=(x- α1)…( х- αk)Q(x). При этом αk+1 - корень многочлена P(x), т.е. P(αk+1) =0. Значит, подставляя αk+1 вместо х, получаем верное равенство. P(αk+1)= (αk+1 –α1)…( αk+1 –αk)Q(αk+1)=0. Но αk+1 по условию отлично от чисел α1,…, αk, и => ни одно из чисел αk+1 –α1,…, αk+1 –αk ≠0. Значит Q(αk+1)=0, т.е. αk+1 – корень многочлена Q(х). По следствию из Теоремы Безу Q(х) делится на х-αk+1 без остатка, Q(х)= (х- αk+1) Q1(х), и поэтому P(x)= (х- α1)…(х- αk) Q(х)= (х- α1)…(х- αk)(х-αk+1) Q1(х). Это и значит, что P(x)делится на (х- α1)…(х- αk+1). Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из ее справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. теорема верна при любом случае корней.