Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Задачи по многочленам

Содержание

Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени.Разложения многочлена на множители.Схема ГорнераУмножения многочленовДеление многочленовАлгоритм ЕвклидаОсновная теорема Алгебры.Корни многочлена. Теорема БезуСледствие из Теоремы БезуТеорема о корнях многочлена.Теория
Многочлены.  Решение олимпиадных задач по теме «Многочлены» Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени.Разложения многочлена на множители.Схема ГорнераУмножения многочленовДеление многочленовАлгоритм ЕвклидаОсновная Многочлен ах + b, где а ≠0,  a, b − числа, x Действительное число a называется корнем многочлена Pn(x), если Pn(a) = 0. Схема Горнера.  Если f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, g(x)=x-c, Умножение многочленов. Pn(x)Qm(x)  Пусть Pn(x) и Qm(x) два многочлена степени n Деление многочленов.   Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x)+r(x). Историческая справка. Алгоритм Евклида.    Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание».   Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и Основная теорема алгебры. Следствие из теоремы Безу. Если число α является корнем Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни α1, α2, …, αn, то Задача №1 (на нахождение корней)Задача №2 Задача №3 (нахождение корней 3хчлена)Задача №4 Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для Найти все целые неотрицательные значения n и k, удовлетворяющие уравнению Квадратный трёхчлен f(x)=x2+px=q имеет 2 различных целых корня. Один из корней трёхчлена Найдите целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4-2y2=1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению (x+y√2)6+(u-v√2)6=7+5√2 При каких целых n число n2 - 7n + 10 простое? Даны три уравнения с действительными коэффициентами. 1) x2-(a+b)x+8=0; 2) x2-x(b+1)+c=0; 3) x4-b(b+1)x2+c=0.Каждое
Слайды презентации

Слайд 2 Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени.
Разложения многочлена на множители.
Схема

Понятие многочлена. Многочлен n-ой степени.Разложения многочлена на множители.Схема ГорнераУмножения многочленовДеление многочленовАлгоритм

Горнера
Умножения многочленов
Деление многочленов
Алгоритм Евклида
Основная теорема Алгебры.
Корни многочлена. Теорема Безу
Следствие

из Теоремы Безу
Теорема о корнях многочлена.









Теория


Слайд 3 Многочлен ах + b, где а ≠0,

Многочлен ах + b, где а ≠0,  a, b − числа, x

 a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой

степени.
Многочлен ах2+bх+с, где а ≠0, a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).
Многочлен ах3+bх2+сх+d, где а ≠0, a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.
Многочлен: Pn(x) =anxn + an – 1x n – 1 + an – 2xn –2 + ... + a1x + a0, где an ≠0, аk=0,1,2,..,n-числа, х- переменная, называется многочленом n-ной степени.
аn-старший коэффициент, а0-свободный член.

Слайд 4 Действительное число a называется корнем многочлена

Действительное число a называется корнем многочлена Pn(x), если Pn(a) = 0.

Pn(x), если Pn(a) = 0.
Число α-k-кратный корень

многочлена f(x), если f(x)=(x-α)kφ(x), φ(α)≠0.
Необходимые теоретические выдержки для разложения многочлена на множители.
Теорема. Любой многочлен степени n вида Pn(x) =anxn + an – 1x n – 1 + an – 2xn –2 + ... + a1x + a0 , представляется произведением постоянного множителя при старшей степени аn и n линейных множителей (х-хi), i=1, 2, …, n, то есть Pn(x)= аn(х-хn)(х-хn-1)…(х-х1), причём хi, i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Слайд 5 Схема Горнера.
Если f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, g(x)=x-c,

Схема Горнера. Если f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, g(x)=x-c,

то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид g(x)=b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1, где b0=0, bk=cbk-1
+ak, k=1,2…,n-1. Остаток r находится по формуле r=cbn-1+an


Слайд 6 Умножение многочленов. Pn(x)Qm(x)
Пусть Pn(x) и Qm(x) два

Умножение многочленов. Pn(x)Qm(x) Пусть Pn(x) и Qm(x) два многочлена степени n

многочлена степени n и m cответственно.

Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,
Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0,
Предположим, что n≥ m.
Pn(x)Qm(x)=(anxn+an-1xn-1+…+a0)(bmxm+bm-1xm-1+…+b0)=
anxn(bmxm+bm-1xm-1 +…+b0)+an-1xn-1(bmxm+
+bm-1xm- 1+…+b0)+…+ a0 (bmxm+bm-1xm-1+…+b0).




Слайд 7 Деление многочленов.
 





Делитель многочлена f(x) - многочлен

Деление многочленов.  Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x)+r(x).

g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x)+r(x).


Слайд 8 Историческая справка. Алгоритм Евклида.
    Древнегреческие математики называли

Историческая справка. Алгоритм Евклида.    Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное

этот алгоритм «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт

Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике
Аристотеля. В «Началах Евклида» он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры
двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.
     Историками математики было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений.    

Евклид

Аристотель


Слайд 9   Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего

  Алгоритм Евклида (алгоритм последовательного деления) нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x)

делителя многочленов f(x) и g(x)
Тогда rk(x)- наибольший общий

делитель f(x) и g(x).

Слайд 10

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n имеет по

крайней мере один корень (комплексный или действительный).
Теорема Безу. Корни многочлена.
При делении P(x) на (x-α) в остатке может получится лишь некоторое число r (если r=0, то деление выполняется без остатка). Так как степень двучлена (x-α) равна 1, то степень остатка должна быть меньше 1. P(x)= (x-α) Q(x)+r (1)
Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х= α. При этом двучлен x-α обращается в нуль, получаем, что P(α)=r.



Слайд 11 Следствие из теоремы Безу. Если число α является корнем

Следствие из теоремы Безу. Если число α является корнем

многочлена P(x), то этот многочлен делится на x-α без

остатка.


По теореме Безу остаток от деления P(x) на x-α равен P(α), а по условию P(α)=0. Отсюда видно, что задача решения уравнения P(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена Р, имеющих первую степень (линейных делителей).


Слайд 12 Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни α1,

Если многочлен P(x) имеет попарно различные корни α1, α2, …, αn,

α2, …, αn, то он делится без остатка на

произведение (х- α1)…(х- αn)

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии из Теоремы Безу. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, и пусть P(х) имеет k+1 попарно различных корней: α1, α2,…, αk, αk+1. По предположению индукции многочлен делится на произведении (х- α1)…(х- αk): P(x)=(x- α1)…( х- αk)Q(x). При этом αk+1 - корень многочлена P(x), т.е. P(αk+1) =0. Значит, подставляя αk+1 вместо х, получаем верное равенство. P(αk+1)= (αk+1 –α1)…( αk+1 –αk)Q(αk+1)=0. Но αk+1 по условию отлично от чисел α1,…, αk, и => ни одно из чисел αk+1 –α1,…, αk+1 –αk ≠0. Значит Q(αk+1)=0, т.е. αk+1 – корень многочлена Q(х). По следствию из Теоремы Безу Q(х) делится на х-αk+1 без остатка, Q(х)= (х- αk+1) Q1(х), и поэтому P(x)= (х- α1)…(х- αk) Q(х)= (х- α1)…(х- αk)(х-αk+1) Q1(х). Это и значит, что P(x)делится на (х- α1)…(х- αk+1). Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из ее справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. теорема верна при любом случае корней.


Слайд 13 Задача №1 (на нахождение корней)
Задача №2
Задача №3

Задача №1 (на нахождение корней)Задача №2 Задача №3 (нахождение корней 3хчлена)Задача

(нахождение корней 3хчлена)
Задача №4
Задача №5 (нахождение параметра)
Задача №6


Задача №7
Задача №8(нахождение неизвестных по условию на корни и одно из неизвестных)

Задачи


Слайд 14 Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a,

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d,

b, c, d, для которых числа a2+2cd+b2 и c2+2ab+d2

являются полными квадратами.

Предположим, что ab=cd. Тогда a2+2cd+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2, c2+2ab+d2=c2+2cd+d2=(c+d)2. Таким образом, достаточно найти четыре различных натуральных числа a, b, c и d, для которых ab=cd. Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух множителей различными способами. Например, таким числом является n=6; в этом случае можно взять a=1, b=6, c=2, d=3.
Ответ: 1,2,3,6



Слайд 15 Найти все целые неотрицательные значения n

Найти все целые неотрицательные значения n и k, удовлетворяющие уравнению

и k, удовлетворяющие уравнению 5n4+k5=81k
5n4+k5=81k, nϵZ, kϵZ, k≥0, n≥0.*
5n4=81k-k5
5n4=

k(3-k)(3+k)(9+k2)
Т.к 5n4≥0, то k(3-k)(3+k)(9+k2)≥0 0≤k≤3


Если k=0, 5n4=0, n=0.
Если k=1, 5n4=80, n4=16, n=2; n=-2(не удовл. условию*)
Если k=2, 5n4=162-32, 5n4=130, n4=26 ø
Если k=3, 5n4=0, n=0. Ответ:k=0,n=0;k=1,n=2;k=3,n=3.






-3

0

3

0≤k≤3



Слайд 16 Квадратный трёхчлен f(x)=x2+px=q имеет 2 различных целых корня.

Квадратный трёхчлен f(x)=x2+px=q имеет 2 различных целых корня. Один из корней

Один из корней трёхчлена и его значение при х=11

являются простыми числами. Найти корни трёхчлена.

Пусть х1 и х2- корни многочлена, f(x)=(x-x1)(x-x2)
а) пусть х1=2-простой корень
f(11)=(11-x1)(11-x2)-простой по условию(противоречие)
f(11)= g(11-х2) - составное
б) пусть х1-нечётное
f(11)=(11-x1)(11-x2)-простое, (11-x1)(11-x2)=2
11-х1=1 11-х1=-1 11-х1=2 11-х1=-2
11-х2=2 11-х2=-2 11-х2=1 11-х2=-1
х1=10 х1=12 х1=9 х1=13
х2=9 х2=13 х2=10 х2=12
Ответ: х1=13,х2=12.





{

{

{

{



Слайд 17 Найдите целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению

Найдите целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4-2y2=1.  Знаки

x4-2y2=1.
Знаки x и y можно

выбирать произвольно, поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что x - нечётное число, x=2t+1. Перепишем уравнение в виде x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)=2t(2t+2)(4t2+4t+2)=2y2.
Теперь видно, что y - чётное число, y=2u. Получаем уравнение на неотрицательные t, u:
2) t(t+1)(2t(t+1)+1)=u2.
Числа t, t+1 и 2t(t+1)+1 попарно взаимно просты, а их произведение - полный квадрат. Значит, каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t=0 (единственная пара последовательных полных квадратов - это 0 и 1). Тогда и u=0. Значит, x=+1, y=0.
Ответ:x=1, y=0 или x=-1, y=0.



Слайд 18 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни

все корни уравнения 3ax2(3a3 -12a2-1)x- a(a- 4)= 0 удовлетворяют неравенству x

|x|≤1.

1) Пусть 3a = 0, т.е. a = 0, тогда
получаем линейное уравнение –x= 0, которое
имеет единственный корень x = 0, причем
0ϵ[-1;1]. Значение a = 0 удовлетворяет
условию задачи.
2)При a≠0 получаем квадратное уравнение,
дискриминант которого равен
D=(3a3-12a2-1)2+ 12a2(a- 4)=(3t-1)2-12t=(3t-1)2 , где t= a3- 4a2.
а)Тогда найдём корни

x

=

=

-(3t-1)-(3t+1)

6a

–t

=

a

=

4a-a2,

=

x

=

-(3t-1)-(3t+1)

6a

=

–t

a

1

3a

б)Теперь поставим условия для корней

-1≤4a-a2≤1

-1≤

1

3a

≤1

{

Решим систему

Ответ{0} ͜ [2+√3;2+√5]


Слайд 19 Существуют ли рациональные числа x, y, u, v,

Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению

которые удовлетворяют уравнению (x+y√2)6+(u-v√2)6=7+5√2 ?
(x+y√2)6=x6+6x5(y√2)+15x4(y√2)2+20x3(y√2)3+15x2(y√2)4+6x(y√2)5+(y√2)6=A+B√2. (u-v√2)6=u6-6u5(v√2)+15u4(v√2)2-20u3(v√2)3+15u2(v√2)4-6u(v√2)5+(v√2)6=A-B√2, то выполняется

(x-y√2)6+(u-v√2)6= 7-5√2
Но 7-5√2˂0, а левая часть положительна. Противоречие. Следовательно, исходного равенства быть не может.
Ответ: таких чисел нет.




Слайд 20 При каких целых n число n2 - 7n

При каких целых n число n2 - 7n + 10 простое?

+ 10 простое?
Разложим многочлен x2 -

7x + 10 на множители: x2 - 7x + 10 =(x - 5)(x - 2). Отсюда при любом целом n число n2 - 7n + 10 делится на n - 5 и на n - 2. Оно может быть простым только в том случае, если одно из чисел n - 5 и n - 2 равно 1 или -1, а другое – простое: если n - 5 = 1,то n = 6, n - 2 = 4, n2 - 7n + 10 = 4 – составное; если n - 5 = -1, то n = 4, n - 2 = 2, n2 - 7n + 10 = -2 – простое; если n - 2 = 1, то n = 3, n - 5 = -2, n2 - 7n + 10 = -2 – простое; если n - 2 = -1, то n = 1, n - 5 = -4, n2 - 7n + 10 = 4 – составное.

Ответ: при n = 3 и n = 4.


  • Имя файла: zadachi-po-mnogochlenam.pptx
  • Количество просмотров: 226
  • Количество скачиваний: 0