Что такое findslide.org?

FindSlide.org - это сайт презентаций, докладов, шаблонов в формате PowerPoint.


Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Яндекс.Метрика

Презентация на тему Десять решений одной задачи

Десять решений одной задачиРовно 35 лет назад автор этой статьи принял участие в своей первой школьной математической олимпиаде. Среди предложенных задач особенно запомнилась такая: докажите, что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам. Эта задача
ГЕОМЕТРИЯАвторская страничкаИсторияДесять решений одной задачиВыход Десять решений одной задачиРовно 35 лет назад автор этой статьи принял участие Все решения задач можно разделить на 2 группы1. Решения, отравленные ядом цивилизации2. РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 4 РЕШЕНИЕ 5 РЕШЕНИЕ 6 Решение 1 Решение 2Рассмотрим пятиугольник ABCDE. Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника ABCDE Решение 3Соединим точку O, взятую внутри звезды, с ее вершинами. Сумма углов Решение 8 Решение 9 Решение 10Проведем окружность так, чтобы она пересекала стороны всех углов звезды. Воспользуемся Презентацию готовили ученики 10 класса Нахабинской СОШ №2:Мадрахимов Эльдар(слева направо)Мишуков ПётрМишуков ПавелБлагодарим
Слайды презентации

Слайд 2 Десять решений одной задачи
Ровно 35 лет назад автор

Десять решений одной задачиРовно 35 лет назад автор этой статьи принял

этой статьи принял участие в своей первой школьной математической

олимпиаде. Среди предложенных задач особенно запомнилась такая: докажите, что сумма углов пятиконечной звезды равна ста восьмидесяти градусам. Эта задача настолько ему понравилась, что он в течение долгого времени собирал к ней различные решения. Помогали ему в этом учителя и школьники. Результатом коллективного творчества стала эта статья.





Слайд 3 Все решения задач можно разделить на 2 группы
1.

Все решения задач можно разделить на 2 группы1. Решения, отравленные ядом

Решения, отравленные ядом цивилизации
2. Собирательные решения


(так остроумно выражался легендарный

преподаватель РГПИ А.М. Кауфман по поводу решения некоторых задач).

Так как сумма углов звезды равна ста восьмидесяти градусам, надо мысленно собрать их в треугольник, или в развернутый угол или − совершенно фантастическое решение − спроектировать углы на окружности.

Начать

просмотр

решений



Слайд 4 РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 4 РЕШЕНИЕ 5 РЕШЕНИЕ 6 РЕШЕНИЕ 7 РЕШЕНИЕ

РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 4 РЕШЕНИЕ 5 РЕШЕНИЕ

8 РЕШЕНИЕ 9 РЕШЕНИЕ 10
10 решений




Слайд 5 Решение 1

Решение 1


C

N P
B D
M Q

A E

Если из суммы углов пяти треугольников NPC, PQD, RQE, AMR, BMN вычесть сумму внешних углов пятиугольника MNPQR, взятых по два, то получится сумма углов пятиконечной звезды, которая численно равна
180° · 5 - 360° · 2 = 180°







R


Слайд 6 Решение 2
Рассмотрим пятиугольник ABCDE. Сумма углов звезды равна

Решение 2Рассмотрим пятиугольник ABCDE. Сумма углов звезды равна сумме углов пятиугольника

сумме углов пятиугольника ABCDE минус сумма углов треугольников BNC,

CPD, EQD,ARE,AMB плюс сумма внутренних углов пятиугольника MNPQR. То есть
180° · 3 - 180° · 5 + 180° · 3 = 180°
Редко встречается такое
естественное решение. Если есть
звезда, то должны быть и лучи.








C

N P
B D
M Q
R
A E




O


Слайд 7 Решение 3
Соединим точку O, взятую внутри звезды, с

Решение 3Соединим точку O, взятую внутри звезды, с ее вершинами. Сумма

ее вершинами. Сумма углов звезды будет равна сумме углов

треугольников OBD, OCE, OAD, OBE, OAC минус два полных угла при вершине O.
180° 5 - 360° 2 = 180°








C

N P
B D
M Q
R
A E




·

·

O


Слайд 8

C

C


N P
B D
M Q
R
A E

Решение 4





Соберем углы звезды в треугольник NCP. Угол C уже находится в треугольнике, а
A + D = CNP,
B + E = CPN
Здесь и в дальнейшим используется
теорема о внешнем угле
треугольника.









Слайд 9

C

C


N P
B D
M Q
R
A E

Решение 5





Рассмотрим треугольник ACE, углы A, C и E уже находятся внутри треугольника, а
B + D = CAE + CEA









Слайд 10

C

C


N P
B D
M Q
R
A E

Решение 6





Собираем углы звезды в треугольник ARE.
B + D = RAE + REA,
ARE = A + C + E









Слайд 11





Решение 7

Собираем все углы в полный угол при вершине D. Угол D уже находится там. Покажем что PDQ = A + B + C + E. Это равенство углов следует из следующих трех равенств:
PDQ = A + ANP,
ANP = B + BMN,
BMN = C + E







A

B

C

D

E

P

N

M

Q

R



Слайд 12 Решение 8

Решение 8














Через точку R проведем прямую LT параллельную BD. Тогда
D = LRA,
B = ERT,
ARE = A + C + E
Сложив все три равенства, получим
A + B + C + D + E = 180°







A

B

C

D

E

L

T

R

M

Q

N

P



Слайд 13 Решение 9





Решение 9





Это фантастическое решение принадлежит И.Ф. Шарыгину. Опишем вокруг звезды окружность и спроектируем углы на эту окружность. Воспользуемся теоремой: угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному. Получим
A + B + C + D + E = 360° : 2 = 180°








A

B

C

D

E


Слайд 14 Решение 10













Проведем окружность так, чтобы она пересекала стороны

Решение 10Проведем окружность так, чтобы она пересекала стороны всех углов звезды.

всех углов звезды. Воспользуемся теоремой: угол, вершина которого расположена

вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг заключенных внутри угла. При подсчете суммы углов каждая из дуг будет учитываться или со знаком «+» или со знаком «–». То есть сумма углов звезды равна 180°







A

B

C

D

E



  • Имя файла: desyat-resheniy-odnoy-zadachi.pptx
  • Количество просмотров: 163
  • Количество скачиваний: 0