Презентация на тему ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ И ГОМОТЕТИИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ОЛИМПИАДНОГО УРОВНЯ

1.2. Свойства движения
1.3.

Параллельный перенос
1.4. Центральная симметрия
1.5. Осевая симметрия
1.6. Поворот
ГЛАВА 2. ГОМОТЕТИЯ
2.1. Гомотетия
2.2. Свойства гомотетии
2.3. Гомотетичность окружностей
2.4. Композиция гомотетий
2.5. Поворотная гомотетия
ГЛАВА 3. Разные задачи из Всероссийских олимпиад школьников

эта фигура получена преобразованием из данной.

полупрямые – в полупрямые, отрезки - в отрезки. (Рис.

3).
Следствие 1.2.[1 ] При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.
(Рис. 4).

Свойства движения

Теорема 1.3. [6] Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. (Рис. 2).

Рисунок 4.

случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в

одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос

окружность.



Вводная задача 1.1. [5]

Заметим, параллельный перенос все точки

пространства перемещает в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то действительно, окружность переходит в окружность при параллельном переносе.

ὁϻόϛ(homόs) ̶ «равный, одинаковый, взаимный, общий» и ϴετοϛ(thetόs) ̶

«расположенный».

Гомотетия сохраняет формы , но не размеры.

каждую точку X отображает на такую точку X' ,

обладающую тем свойством , что OX' = k•OX , где точку O называют центром гомотетии, а число k - коэффициентом гомотетии .

O

X

X'

Рисунок 8.

одна из них переходит в другую при некоторой гомотетии.

(Рис. 9).

F /

F

O

Рисунок 9.

Теорема 1. Две неравные окружности гомотетичны дважды.[2]

расстояний от которых до двух заданных точек – величина

постоянная, не равная единице рис.10,б). [5]

Определение 4. Вневписанная окружность треугольника это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон (рис.10, в)). [4]

неколлинеарны, то шесть центров гомотетий этих окружностей, взятых попарно,

лежат по три на четырёх прямых.

Теорема о трёх центрах гомотетий

математике 1993-2009: заключительные этапы»[1]
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P

и Q – точки пересечения лучей BA и CD, BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ. Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
(Автор В. Шмаров.)

точки, называется угол между касательными, проведёнными из этой точки

к окружности.

Лемма 1.Утверждение: «окружности ω1 и ω2 видны под равными углами из точки H»,- равносильно тому, что

(рис.13,б).

Определение 4.Углом, под которым окружность видна из данной точки, называется угол между касательными, проведёнными из этой точки к окружности.

центрами I1 и I2, радиусами r1 и r2, –

вписанные окружности треугольников ADP и CDQ соответственно и D – точка пересечения касательных, следовательно, по теореме 1, ω1 и ω2 гомотетичны с центром D, т. е. (рис.13).

Далее рассматриваются два случая: 1) радиусы различны; 2) радиусы одинаковы.

с положительным коэффициентом, переводящей ω1 в ω2, то есть

S – точка пересечения общих внешних касательных к обеим окружностям.

Если окружности ω1 и ω2 видны из точки H под равными углами =>Л.1.=>

(1);

Т.1.=> (2)

(1),(2)=>

Так как S – ещё один центр гомотетии ω1 и ω2, то